Determine a equação da reta tangente do gráfico da função f(x)=x^3+1 / x no ponto do seu gráfico correspondente a x0=1.

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar a reta tangente ao gráfico da função f(x)=x^3+tfrac1x no ponto onde x0=1. O conteúdo é derivadas (para achar o coeficiente angular) e avaliação de função (para achar o ponto de tangência). Vamos precisar calcular f(1), f'(x) e depois usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor da função em x0=1 para achar o ponto de tangência:
f(1)=1^3+11=1+1=2
Então o ponto de tangência é (1,2).

Passo 3

Agora, derivamos f(x) para obter o coeficiente angular da reta:
f'(x)=ddxl(x^3+tfrac1xr)=3x^2-1x^2
E em x=1 temos:
f'(1)=3cdot1^2-11^2=3-1=2
O coeficiente angular da reta tangente ( m) é, portanto, 2.

Passo 4

Finalmente, aplicamos a fórmula da reta tangente:
y - f(x0)=f'(x0),(x - x0)
Substituindo f(x0)=2, f'(x0)=2 e x0=1:
y - 2=2(x-1)
Isolando y obtemos:
y=2x

Resposta

y=2x

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