Determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^+infty (-1)^n x^n3^n(n+1)

Passo 1

Resumo do enunciado: Determinar o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty (-1)^n x^n3^n(n+1). O conteúdo aqui é convergência de séries de potências. Para resolver, vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e em seguida analisar a convergência nos extremos x=3 e x=-3.

Passo 2

Usamos o teste da razão para séries de potências. Seja an = (-1)^n x^n3^n(n+1). Então calculamos
L = limntoinfty |an+1an| = limntoinfty |x|3 cdot n+1n+2 = |x|3
A condição de convergência pelo teste da razão é L<1, ou seja |x|3<1 |x|<3. Logo o raio de convergência é R=3 e a série converge inicialmente em -3.

Passo 3

Analisando o extremo x=3: substituindo na série temos
sumn=0^infty (-1)^n,3^n3^n(n+1) = sumn=0^infty (-1)^nn+1,
u ma série alternada com termos 1/(n+1) decrescentes a zero. Pelo critério de Leibniz, essa série converge. Portanto x=3 está incluído no intervalo.

Passo 4

Analisando o extremo x=-3: substituindo na série:
sumn=0^infty (-1)^n(-3)^n3^n(n+1) = sumn=0^infty (-1)^2nn+1 = sumn=0^infty 1n+1,
o que é a série harmônica deslocada, que diverge. Logo x=-3 está excluído do intervalo.

Resposta

(-3,3]

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