Determine o domínio da função f em cada caso:
f(x)=sumn=0^+infty(-1)^n cdot n^3 cdot(x-5)^n.

Passo 1

Temos a função definida por uma série de potências centrada em 5:
f(x)=sumn=0^+infty(-1)^nn^3(x-5)^n
O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Definimos o coeficiente geral an = (-1)^n n^3 e aplicamos o teste da razão:
L = limntoinfty |an+1(x-5)^n+1an(x-5)^n| = limntoinfty |x-5|(n+1)^3n^3 = |x-5|
Para convergir precisamos de L<1, ou seja |x-5|<1.

Passo 3

Da condição |x-5|<1 obtemos o intervalo de convergência aberto:
4 < x < 6

Passo 4

Faltam verificar os extremos:
  • Em x=6 a série vira sum(-1)^n n^3, cujos termos não tendem a zero, logo diverge.
  • Em x=4 a série vira sum n^3, também diverge.
    Portanto não incluímos os extremos.

Resposta

O domínio de f é o intervalo aberto (4,6).

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