Se A e B são matrizes 4 \times 4 tal que \operatorname{det}(A)=2 e \operatorname{det}(B)=-1; use as propriedades do determinante para calcular:
\operatorname{det}\left(A^{t}\right)

Passo 1

O enunciado dá que A e B são matrizes 4\times4 e que \det(A)=2 e \det(B)=-1. A pergunta que precisamos responder é: qual é \det\bigl(A^{t}\bigr), ou seja, o determinante da transposta de A. Essas são todas as informações relevantes.

Passo 2

Vou te lembrar uma propriedade fundamental do determinante e te mostrar num exemplo simples para ficar claro: para qualquer matriz quadrada A vale
\det\bigl(A^{t}\bigr)=\det(A).
Essa é a propriedade que vamos usar. Antes de provar rapidamente, faça um exercício mental com uma matriz 2\times2 para ver por que isso é natural.
Considere a matriz genérica 2\times2
A=\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix},
onde a,b,c,d são os elementos da matriz (cada um é um número). O determinante de A é definido por
\det(A)=ad-bc.
A transposta de A é
A^{t}=\begin{pmatrix} a & c \\[4pt] b & d \end{pmatrix}.
Agora calcule o determinante de A^{t}:
\det\bigl(A^{t}\bigr)=a\cdot d - c\cdot b = ad - cb = ad - bc.
Como cb=bc, vemos que \det\bigl(A^{t}\bigr)=\det(A) nesse caso 2\times2. Isso dá uma intuição: trocar linhas por colunas (o que a transposição faz) não altera o valor do determinante.]

Passo 3

Agora uma justificativa geral (sem complicar demais): uma forma comum de definir o determinante de uma matriz n\times n é pela soma sobre todas as permutações:
\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}.
Explicando os símbolos: S_n é o conjunto de todas as permutações dos índices 1,\dots,n; \operatorname{sgn}(\sigma) é o sinal da permutação \sigma (igual a +1 ou -1); e a_{i,j} é o elemento da matriz A na linha i e coluna j. Na transposta A^{t} temos \bigl(A^{t}\bigr)_{i,j}=a_{j,i}. Substituindo na fórmula do determinante:
\det\bigl(A^{t}\bigr)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n} \bigl(A^{t}\bigr)_{i,\sigma(i)} =\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),i}.
Se você reindexar a multiplicação (trocar a ordem do produto usando uma permutação inversa), essa soma fica exatamente igual à soma original para \det(A). Em palavras simples: as mesmas parcelas aparecem, apenas com os fatores permutados, e o sinal associado à permutação não muda, então o valor total permanece o mesmo. Logo, para qualquer dimensão n,
\det\bigl(A^{t}\bigr)=\det(A).

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso: como o enunciado dá \det(A)=2, temos imediatamente
\det\bigl(A^{t}\bigr)=\det(A)=2.
Pronto — é direto quando você lembra que determinante não muda ao transpor a matriz.

Resposta

2

Exercícios relacionados