Se
e
são matrizes
tal que
e
; use as propriedades do determinante para calcular:
Passo 1
O enunciado dá que
e
são matrizes
e que
e
. A pergunta que precisamos responder é: qual é
, ou seja, o determinante da transposta de
. Essas são todas as informações relevantes.
Passo 2
Vou te lembrar uma propriedade fundamental do determinante e te mostrar num exemplo simples para ficar claro: para qualquer matriz quadrada
vale
Essa é a propriedade que vamos usar. Antes de provar rapidamente, faça um exercício mental com uma matriz
para ver por que isso é natural.
Considere a matriz genérica
onde
são os elementos da matriz (cada um é um número). O determinante de
é definido por
A transposta de
é
Agora calcule o determinante de
:
Como
, vemos que
nesse caso
. Isso dá uma intuição: trocar linhas por colunas (o que a transposição faz) não altera o valor do determinante.]
Passo 3
Agora uma justificativa geral (sem complicar demais): uma forma comum de definir o determinante de uma matriz
é pela soma sobre todas as permutações:
Explicando os símbolos:
é o conjunto de todas as permutações dos índices
;
é o sinal da permutação
(igual a
ou
); e
é o elemento da matriz
na linha
e coluna
. Na transposta
temos
. Substituindo na fórmula do determinante:
Se você reindexar a multiplicação (trocar a ordem do produto usando uma permutação inversa), essa soma fica exatamente igual à soma original para
. Em palavras simples: as mesmas parcelas aparecem, apenas com os fatores permutados, e o sinal associado à permutação não muda, então o valor total permanece o mesmo. Logo, para qualquer dimensão
,
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao nosso caso: como o enunciado dá
, temos imediatamente
Pronto — é direto quando você lembra que determinante não muda ao transpor a matriz.