Calcule o determinante de cada uma das matrizes a seguir usando a expansão por cofatores com uma linha ou coluna de sua escolha. C=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 4 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 & 0\end{array}\right]
Volte a calcular os determinantes das matrizes anteriores usando eliminação Gaussiana e as propriedades do determinante.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o determinante da matriz C de duas maneiras: (1) usando expansão por cofatores escolhendo uma linha ou coluna conveniente e (2) usando eliminação Gaussiana e as propriedades do determinante. A matriz dada é
onde a_{ij} é o elemento na linha i, coluna j e M_{ij} é a submatriz obtida de A removendo a linha i e a coluna j. O fator (-1)^{i+j} é o sinal do cofator; observe que esse sinal alterna em um padrão de xadrez. Expliquei isso para você conseguir aplicar sem errar o sinal.
Passo 3
Escolho expandir por coluna 1 de C, porque nessa coluna há zeros que simplificam cálculos:
O cofator para a_{41} tem sinal (-1)^{4+1} = (-1)^5 = -1, então o cofator é -1\cdot(-5)=+5. A contribuição para \det\text{(C)} é a_{41} vezes o cofator: 1\cdot 5 = 5.]
Passo 6
Somando as contribuições das entradas não nulas da coluna 1:
\det\text{(C)} = (-2) + 5 = 3.
Portanto pelo método de cofatores encontramos \det\text{(C)}=3.
Passo 7
Agora a solução por eliminação Gaussiana. Primeiro lembro as propriedades relevantes (didático e prático):
Trocar duas linhas muda o sinal do determinante (multiplica por -1).
Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Se a matriz fica triangular (superior ou inferior), \det é o produto dos elementos da diagonal principal.
Ao aplicar eliminação, prefiro usar apenas operações do tipo “somar múltiplo de uma linha em outra” para não alterar o determinante.
Observação: em todas as etapas usei apenas operações do tipo “linha <- linha + k·(outra linha)”, então o determinante permanece igual ao da matriz original.
Passo 9
Como a matriz está triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal: