Calcule o determinante de cada uma das matrizes a seguir usando a expansão por cofatores com uma linha ou coluna de sua escolha.
C=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 4 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 & 0\end{array}\right]
Volte a calcular os determinantes das matrizes anteriores usando eliminação Gaussiana e as propriedades do determinante.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o determinante da matriz C de duas maneiras: (1) usando expansão por cofatores escolhendo uma linha ou coluna conveniente e (2) usando eliminação Gaussiana e as propriedades do determinante. A matriz dada é
C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
As perguntas explícitas são:
  1. Calcular \det\text{(C)} por expansão por cofatores (escolher linha/coluna).
  2. Calcular \det\text{(C)} novamente por eliminação Gaussiana, explicando as propriedades usadas.

Passo 2

Breve recapitulação (didática) da expansão por cofatores antes de aplicar: para uma matriz n\times n, a expansão ao longo da coluna j é
\det(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(M_{ij}),
onde a_{ij} é o elemento na linha i, coluna j e M_{ij} é a submatriz obtida de A removendo a linha i e a coluna j. O fator (-1)^{i+j} é o sinal do cofator; observe que esse sinal alterna em um padrão de xadrez. Expliquei isso para você conseguir aplicar sem errar o sinal.

Passo 3

Escolho expandir por coluna 1 de C, porque nessa coluna há zeros que simplificam cálculos:
\text{coluna }1 = \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Pela fórmula:
\det\text{(C)}=\sum_{i=1}^{4}(-1)^{i+1} a_{i1}\det(M_{i1}).
Como a_{21}=0 e a_{31}=0, só precisamos calcular os cofatores para i=1 e i=4.]

Passo 4

Calculo do cofator associado a a_{11}=1. A menor M_{11} (removendo linha 1 e coluna 1) é
M_{11}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Agora calculo \det(M_{11}). Expando essa 3\times3 pela primeira linha (ou uso a regra de Sarrus; aqui uso expansão para mostrar passo a passo):
\det(M_{11}) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]2 & 0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calculo os menores:
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]2 & 0\end{pmatrix} = 0\cdot0 - 1\cdot2 = -2,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix} = 1\cdot0 - 1\cdot0 = 0.
Portanto
\det(M_{11}) = 1\cdot(-2) - 1\cdot 0 = -2.
O cofator é (-1)^{1+1}\det(M_{11}) = (+1)\cdot(-2) = -2. A contribuição para \det\text{(C)} é a_{11} vezes o cofator: 1\cdot(-2)=-2.]

Passo 5

Agora o cofator associado a a_{41}=1. A menor M_{41} (removendo linha 4 e coluna 1) é
M_{41}=\begin{pmatrix} 0 & 4 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Calculo \det(M_{41}). Expando pela primeira linha (tem um zero, bom):
\det(M_{41}) = 0\cdot(\cdots) - 4\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Calculo os menores:
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix} = 1\cdot1 - 0\cdot1 = 1,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix} = 1\cdot0 - 1\cdot1 = -1.
Portanto
\det(M_{41}) = -4\cdot 1 + 1\cdot(-1) = -4 - 1 = -5.
O cofator para a_{41} tem sinal (-1)^{4+1} = (-1)^5 = -1, então o cofator é -1\cdot(-5)=+5. A contribuição para \det\text{(C)} é a_{41} vezes o cofator: 1\cdot 5 = 5.]

Passo 6

Somando as contribuições das entradas não nulas da coluna 1:
\det\text{(C)} = (-2) + 5 = 3.
Portanto pelo método de cofatores encontramos \det\text{(C)}=3.

Passo 7

Agora a solução por eliminação Gaussiana. Primeiro lembro as propriedades relevantes (didático e prático):
  • Trocar duas linhas muda o sinal do determinante (multiplica por -1).
  • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
  • Se a matriz fica triangular (superior ou inferior), \det é o produto dos elementos da diagonal principal.
Ao aplicar eliminação, prefiro usar apenas operações do tipo “somar múltiplo de uma linha em outra” para não alterar o determinante.

Passo 8

Começo com C:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Quero zerar a entrada a_{41} (linha 4, coluna 1). Faço R_4 \leftarrow R_4 - R_1 (essa operação não altera o determinante):
R_4 = (1,0,2,0) - (1,0,4,1) = (0,0,-2,-1).
Matriz agora:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}.
Em seguida zero a entrada a_{32} (linha 3, coluna 2) usando R_3 \leftarrow R_3 - R_2 (novamente operação neutra para o determinante):
R_3 = (0,1,0,1) - (0,1,1,0) = (0,0,-1,1).
Matriz agora:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}.
Agora zeramos a_{43} (linha 4, coluna 3) combinando com R_3. Como R_3 tem -1 na coluna 3, faço R_4 \leftarrow R_4 - 2\cdot R_3:
R_4 = (0,0,-2,-1) - 2\cdot(0,0,-1,1) = (0,0,0,-3).
Matriz triangular superior obtida:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}.
Observação: em todas as etapas usei apenas operações do tipo “linha <- linha + k·(outra linha)”, então o determinante permanece igual ao da matriz original.

Passo 9

Como a matriz está triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
\det\text{(C)} = 1 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-3) = 3.
Isso confirma o resultado obtido pela expansão por cofatores.

Resposta

\det\text{(C)}=3

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