Utilizando a regra de Cramer, resolva o sistema
\left\{\begin{array}{r} 3 x+2 y+4 z=1 \\ 2 x-y+z=0 \\ x-2 y+3 z=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear e encontrar os valores de x, y e z. As equações dadas são:
\begin{cases} 3x+2y+4z=1,\\[4pt] 2x-y+z=0,\\[4pt] x-2y+3z=1.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes das variáveis e os termos independentes (lado direito) de cada equação, que podemos organizar na forma matricial padrão para aplicar a regra de Cramer.]

Passo 2

Vou usar a regra de Cramer. Explico passo a passo o que ela diz e como calcular:
  • Se escrevemos o sistema na forma matricial A\mathbf{v}=\mathbf{b}, onde
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}b_1\\[4pt] b_2\\[4pt] b_3\end{pmatrix},
então, se \det(A)\neq 0, a regra de Cramer dá cada incógnita como
x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)},\qquad y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)},\qquad z=\frac{\det(A_z)}{\det(A)},
onde A_x é a matriz obtida trocando a primeira coluna de A por \mathbf{b}, A_y trocando a segunda coluna por \mathbf{b} e A_z trocando a terceira coluna por \mathbf{b}.
  • Para calcular determinantes de matrizes 3\times3 vou usar a regra de Sarrus (método prático): se
M=\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13}\\[4pt] m_{21} & m_{22} & m_{23}\\[4pt] m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{pmatrix},
então
\det(M)=m_{11}m_{22}m_{33}+m_{12}m_{23}m_{31}+m_{13}m_{21}m_{32}- \bigl(m_{13}m_{22}m_{31}+m_{11}m_{23}m_{32}+m_{12}m_{21}m_{33}\bigr).
Vou aplicar isso com calma em cada determinante.]

Passo 3

Calcular \det(A) com A=\begin{pmatrix}3&2&4\\[4pt]2&-1&1\\[4pt]1&-2&3\end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus:
  • Produtos das “diagonais principais”:
3\cdot(-1)\cdot3 = -9, \qquad 2\cdot1\cdot1 = 2, \qquad 4\cdot2\cdot(-2) = -16.
Soma desses três: -9+2-16=-23.
  • Produtos das “diagonais secundárias”:
4\cdot(-1)\cdot1 = -4, \qquad 3\cdot1\cdot(-2) = -6, \qquad 2\cdot2\cdot3 = 12.
Soma desses: -4-6+12=2.
Portanto
\det(A)=(-23)-2=-25.
Observação: como \det(A)=-25\neq 0, a regra de Cramer é aplicável e existe uma solução única.]

Passo 4

Calcular \det(A_x). Substituímos a primeira coluna de A pelo vetor coluna dos termos independentes \mathbf{b}=(1,0,1)^T:
A_x=\begin{pmatrix}1&2&4\\[4pt]0&-1&1\\[4pt]1&-2&3\end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus:
  • Diagonais principais:
1\cdot(-1)\cdot3 = -3, \qquad 2\cdot1\cdot1 = 2, \qquad 4\cdot0\cdot(-2) = 0.
Soma: -3+2+0=-1.
  • Diagonais secundárias:
4\cdot(-1)\cdot1 = -4, \qquad 1\cdot1\cdot(-2) = -2, \qquad 2\cdot0\cdot3 = 0.
Soma: -4-2+0=-6.
Logo
\det(A_x)=(-1)-(-6)=5.]

Passo 5

Calcular \det(A_y). Substituímos a segunda coluna por \mathbf{b}:
A_y=\begin{pmatrix}3&1&4\\[4pt]2&0&1\\[4pt]1&1&3\end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus:
  • Diagonais principais:
3\cdot0\cdot3 = 0, \qquad 1\cdot1\cdot1 = 1, \qquad 4\cdot2\cdot1 = 8.
Soma: 0+1+8=9.
  • Diagonais secundárias:
4\cdot0\cdot1 = 0, \qquad 3\cdot1\cdot1 = 3, \qquad 1\cdot2\cdot3 = 6.
Soma: 0+3+6=9.
Portanto
\det(A_y)=9-9=0.]

Passo 6

Calcular \det(A_z). Substituímos a terceira coluna por \mathbf{b}:
A_z=\begin{pmatrix}3&2&1\\[4pt]2&-1&0\\[4pt]1&-2&1\end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus:
  • Diagonais principais:
3\cdot(-1)\cdot1 = -3, \qquad 2\cdot0\cdot1 = 0, \qquad 1\cdot2\cdot(-2) = -4.
Soma: -3+0-4=-7.
  • Diagonais secundárias:
1\cdot(-1)\cdot1 = -1, \qquad 3\cdot0\cdot(-2) = 0, \qquad 2\cdot2\cdot1 = 4.
Soma: -1+0+4=3.
Logo
\det(A_z)=(-7)-3=-10.]

Passo 7

Agora aplicamos a regra de Cramer para obter as incógnitas:
x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)}=\frac{5}{-25}=-\frac{1}{5},
y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)}=\frac{0}{-25}=0,
z=\frac{\det(A_z)}{\det(A)}=\frac{-10}{-25}=\frac{2}{5}.
Esses são os valores que satisfazem o sistema dado.

Resposta

x=-\dfrac{1}{5}
y=0
z=\dfrac{2}{5}

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