(b) Seja
f(x, y, z)=x y e^{z}+z^{2}
e seja C a curva parametrizada por
\mathbf{r}(t)=\left(t, t^{2}, \ln (t+1)\right), \quad 0 \leq t \leq 1 .
Calcule
\int_{C} \nabla f \cdot d \mathbf{r} .

Passo 1

O enunciado dá a função escalares
f(x,y,z)=x y e^{z}+z^{2}
e a curva parametrizada
\mathbf{r}(t)=\big(t,\;t^{2},\;\ln(1+t)\big),\qquad 0\le t\le1.
O que se pede é calcular a integral de linha
\int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva C é a imagem de \mathbf{r}(t) para t\in[0,1].
  • A integranda é o produto escalar entre o gradiente de f e o diferencial de posição d\mathbf{r}.
  • Não há restrição adicional: f é uma função suave (deriváveis parciais existem) em torno da curva, então podemos usar propriedades do gradiente.

Passo 2

Vou calcular o gradiente \nabla f. Lembre que o gradiente de uma função f(x,y,z) é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Calcule cada derivada parcial de forma direta:
\frac{\partial f}{\partial x}=y e^{z},
\frac{\partial f}{\partial y}=x e^{z},
\frac{\partial f}{\partial z}=x y e^{z}+2z.
Portanto
\nabla f(x,y,z)=\big(y e^{z},\;x e^{z},\;x y e^{z}+2z\big).

Passo 3

Agora uma ferramenta essencial: o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos gradiente. Ele diz que, se f é diferenciável e C é uma curva suave que vai de um ponto A para um ponto B, então
\int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}=f(B)-f(A).
Intuitivamente, o gradiente aponta a direção de maior crescimento de f e a integral de \nabla f ao longo de uma curva depende apenas dos valores de f nas extremidades — isso é análogo ao Teorema Fundamental do Cálculo em uma dimensão.
Um modo alternativo (que também prova a igualdade) é usar a regra da cadeia: para a composição t\mapsto f(\mathbf{r}(t)),
\frac{d}{dt}f(\mathbf{r}(t))=\nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t).
Integrando de t=0 a t=1 obtemos
\int_{0}^{1}\nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt=f(\mathbf{r}(1))-f(\mathbf{r}(0)),
que é exatamente \int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}. Vou usar essa forma prática: avaliar f nas extremidades da curva.

Passo 4

Calcule os pontos extremos da curva \mathbf{r}(t):
\mathbf{r}(0)=\big(0,\;0,\;\ln(1+0)\big)=(0,0,0),
\mathbf{r}(1)=\big(1,\;1,\;\ln(2)\big).
Agora avalie f nesses pontos. Lembre que
f(x,y,z)=x y e^{z}+z^{2}.
No ponto \mathbf{r}(0)=(0,0,0):
f(\mathbf{r}(0))=0\cdot0\cdot e^{0}+0^{2}=0.
No ponto \mathbf{r}(1)=(1,1,\ln 2):
f(\mathbf{r}(1))=1\cdot1\cdot e^{\ln 2}+(\ln 2)^{2}=e^{\ln 2}+(\ln 2)^{2}=2+(\ln 2)^{2}.

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental (ou a integração da derivada composta) temos
\int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}=f(\mathbf{r}(1))-f(\mathbf{r}(0))=\big(2+(\ln 2)^{2}\big)-0=2+(\ln 2)^{2}.

Resposta

2+(\ln 2)^{2}

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