(b) Seja
e seja
a curva parametrizada por
Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função escalares
e a curva parametrizada
O que se pede é calcular a integral de linha
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva
é a imagem de para . - A integranda é o produto escalar entre o gradiente de
e o diferencial de posição . - Não há restrição adicional:
é uma função suave (deriváveis parciais existem) em torno da curva, então podemos usar propriedades do gradiente.
Passo 2
Vou calcular o gradiente
. Lembre que o gradiente de uma função
é o vetor das derivadas parciais:
Calcule cada derivada parcial de forma direta:
Portanto
Passo 3
Agora uma ferramenta essencial: o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos gradiente. Ele diz que, se
é diferenciável e
é uma curva suave que vai de um ponto
para um ponto
, então
Intuitivamente, o gradiente aponta a direção de maior crescimento de
e a integral de
ao longo de uma curva depende apenas dos valores de
nas extremidades — isso é análogo ao Teorema Fundamental do Cálculo em uma dimensão.
Um modo alternativo (que também prova a igualdade) é usar a regra da cadeia: para a composição
,
Integrando de
a
obtemos
que é exatamente
. Vou usar essa forma prática: avaliar
nas extremidades da curva.
Passo 4
Calcule os pontos extremos da curva
:
Agora avalie
nesses pontos. Lembre que
No ponto
:
No ponto
:
Passo 5
Aplicando o Teorema Fundamental (ou a integração da derivada composta) temos