Considere o campo vetorial
(c)
\mathbf{F}(x, y)=\left(2 x y+3, x^{2}+4 y\right) .
i. Verifique se \mathbf{F} é conservativo.
ii. Caso seja conservativo, calcule
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},
onde C é qualquer curva ligando (0,0) a (1,2).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=\big(2xy+3,\;x^{2}+4y\big).
As perguntas são:
  1. Verificar se \mathbf{F} é conservativo.
  2. Caso seja conservativo, calcular
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde C é qualquer curva que liga (0,0) a (1,2).

Passo 2

O que significa ser conservativo e como testar isso (em 2D, passo a passo).
  • Em duas variáveis, escrevemos \mathbf{F}=(P(x,y),Q(x,y)). O campo é conservativo se existir uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}, isto é
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q.
  • Um teste prático: se P e Q têm derivadas parciais contínuas em um domínio simplesmente conectado, então \mathbf{F} é conservativo se, e somente se,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
em todo o domínio. Vou aplicar esse teste ao campo dado.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias.
Aqui P(x,y)=2xy+3 e Q(x,y)=x^{2}+4y.
Calculemos:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy+3)=2x,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+4y)=2x.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=2x para todo (x,y), a condição de igualdade das derivadas é satisfeita.

Passo 4

Verificação do domínio (por que a condição acima garante a existência do potencial).
  • O campo está definido para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. O plano \mathbb{R}^{2} é simplesmente conectado (não tem “buracos”), e P,Q têm derivadas parciais contínuas. Portanto a igualdade das derivadas parciais implica que \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^{2}.
  • Conclusão: \mathbf{F} é conservativo.

Passo 5

Encontrar uma função potencial \varphi(x,y) (método prático).
  • Partimos de \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=P=2xy+3. Integramos essa expressão em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int (2xy+3)\,dx = x^{2}y+3x + g(y),
onde g(y) é uma função de y (a “constante” de integração que pode depender de y).
  • Agora usamos a outra igualdade \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=Q. Calculemos a derivada de \varphi que encontramos:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y+3x+g(y)\big)=x^{2}+g'(y).
  • Igualando a Q(x,y)=x^{2}+4y obtemos
x^{2}+g'(y)=x^{2}+4y \quad\Rightarrow\quad g'(y)=4y.
  • Integrando g'(y) em y,
g(y)=\int 4y\,dy = 2y^{2} + C,
onde C é constante real. Assim uma potencial válida é
\varphi(x,y)=x^{2}y+3x+2y^{2}+C.
(A constante C não afeta o valor do integral de linha.)

Passo 6

Calcular a integral de linha usando a função potencial (teorema fundamental para campos conservativos).
  • Para um campo conservativo, a integral de linha entre dois pontos (x_{0},y_{0}) e (x_{1},y_{1}) depende apenas da diferença da potencial:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(x_{1},y_{1})-\varphi(x_{0},y_{0}),
independente da curva C.
  • Aqui os pontos são (0,0) e (1,2). Avaliamos \varphi (pode-se escolher C=0 para simplificar):
\varphi(1,2)=1^{2}\cdot 2 + 3\cdot 1 + 2\cdot 2^{2} + C = 2 + 3 + 8 + C = 13 + C,
\varphi(0,0)=0 + 0 + 0 + C = C.
  • A diferença é
\varphi(1,2)-\varphi(0,0)=(13+C)-C=13.

Passo 7

Interpretação final e incentivo.
  • Concluímos que o valor da integral é 13 qualquer que seja o caminho C entre (0,0) e (1,2).
  • Bom trabalho! Mesmo que pareça muita regra, o procedimento prático é sempre: verificar \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, achar \varphi integrando P em x (ou Q em y) e ajustar a função “constante” de integração, e por fim avaliar a diferença de \varphi nos extremos.

Resposta

i) Sim, \mathbf{F} é conservativo.
ii) \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=13

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