Considere o campo vetorial
(c)
i. Verifique se
é conservativo.
ii. Caso seja conservativo, calcule
onde
é qualquer curva ligando
a
.
(c)
ii. Caso seja conservativo, calcule
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
As perguntas são:
- Verificar se
é conservativo. - Caso seja conservativo, calcular
onde
é qualquer curva que liga
a
.
Passo 2
O que significa ser conservativo e como testar isso (em 2D, passo a passo).
- Em duas variáveis, escrevemos
. O campo é conservativo se existir uma função potencial tal que , isto é
- Um teste prático: se
e têm derivadas parciais contínuas em um domínio simplesmente conectado, então é conservativo se, e somente se,
em todo o domínio. Vou aplicar esse teste ao campo dado.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias.
Aqui e
.
Calculemos:
Aqui
Calculemos:
Como
para todo
, a condição de igualdade das derivadas é satisfeita.
Passo 4
Verificação do domínio (por que a condição acima garante a existência do potencial).
- O campo está definido para todo
. O plano é simplesmente conectado (não tem “buracos”), e têm derivadas parciais contínuas. Portanto a igualdade das derivadas parciais implica que é conservativo em . - Conclusão:
é conservativo.
Passo 5
Encontrar uma função potencial
(método prático).
- Partimos de
. Integramos essa expressão em relação a , tratando como constante:
onde
é uma função de
(a “constante” de integração que pode depender de
).
- Agora usamos a outra igualdade
. Calculemos a derivada de que encontramos:
- Igualando a
obtemos
- Integrando
em ,
onde
é constante real. Assim uma potencial válida é
(A constante
não afeta o valor do integral de linha.)
Passo 6
Calcular a integral de linha usando a função potencial (teorema fundamental para campos conservativos).
- Para um campo conservativo, a integral de linha entre dois pontos
e depende apenas da diferença da potencial:
independente da curva
.
- Aqui os pontos são
e . Avaliamos (pode-se escolher para simplificar):
- A diferença é
Passo 7
Interpretação final e incentivo.
- Concluímos que o valor da integral é
qualquer que seja o caminho entre e . - Bom trabalho! Mesmo que pareça muita regra, o procedimento prático é sempre: verificar
, achar integrando em (ou em ) e ajustar a função “constante” de integração, e por fim avaliar a diferença de nos extremos.
Resposta
i) Sim,
é conservativo.
ii)
ii)