(b) Seja U uma v.a com distribuição U[0,1] e seja F uma f.d. contínua estritamente crescente. Mostre que F^-1(U) tem função de distribuição F, onde F^-1 indica a função inversa de F.
(Observação: os resultados (a) e (b) podem ser estendidos para uma f.d. arbitrária F, considerando a

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz o seguinte: temos uma variável aleatória X = F^-1(U), que é uniforme no intervalo , e uma função de distribuição que é contínua e estritamente crescente (ou seja, bijetora de em ). A tarefa é mostrar que se a gente definir
então tem função de distribuição .
Conteúdo da matéria: transformações de variáveis aleatórias e CDF (função de distribuição acumulada). Vamos precisar usar a definição de CDF e a ideia de que, para , podemos relacionar com .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de CDF: para qualquer variável FX(x) = P(X <= x) ,
Pl(X <= xr) = Pl(F^-1(U) <= xr)
Queremos mostrar que g(U) <= x Long<=ftrightarrow U <= g^-1(x) . Então parte da resolução é calcular
F^-1(U) <= x = U <= F(x)
Aqui usamos que é estritamente crescente, logo sua inversa existe e também é crescente. Quando você tem uma função crescente , vale a equivalência
No nosso caso, e . Assim

Passo 3

Agora é moleza usar que P(U <= u) = u, uin[0,1] é uniforme em Pl(X <= xr) = Pl(U <= F(x)r) = F(x), . Para uma v.a. uniforme, a CDF é simplesmente
Então aplicando isso com , obtemos
desde que esteja entre 0 e 1, o que é verdade porque é CDF de algo.

Resposta

Portanto, a variável FX(x) = P(X <= x) = F(x), tem função de distribuição
ou seja, exatamente a função desejada.

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