(b) Seja
uma v.a com distribuição
e seja
uma f.d. contínua estritamente crescente. Mostre que
tem função de distribuição
, onde
indica a função inversa de
.
(Observação: os resultados (a) e (b) podem ser estendidos para uma f.d. arbitrária
, considerando a
(Observação: os resultados (a) e (b) podem ser estendidos para uma f.d. arbitrária
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz o seguinte: temos uma variável aleatória
que é uniforme no intervalo
, e uma função de distribuição
que é contínua e estritamente crescente (ou seja, bijetora de
em
). A tarefa é mostrar que se a gente definir
então
tem função de distribuição
.
Conteúdo da matéria: transformações de variáveis aleatórias e CDF (função de distribuição acumulada). Vamos precisar usar a definição de CDF e a ideia de que, para , podemos relacionar
com
.
Conteúdo da matéria: transformações de variáveis aleatórias e CDF (função de distribuição acumulada). Vamos precisar usar a definição de CDF e a ideia de que, para
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de CDF: para qualquer variável
,
Queremos mostrar que
. Então parte da resolução é calcular
Aqui usamos que
é estritamente crescente, logo sua inversa
existe e também é crescente. Quando você tem uma função crescente
, vale a equivalência
No nosso caso,
e
. Assim
Passo 3
Agora é moleza usar que
é uniforme em
. Para uma v.a. uniforme, a CDF é simplesmente
Então aplicando isso com
, obtemos
desde que
esteja entre 0 e 1, o que é verdade porque
é CDF de algo.
Resposta
Portanto, a variável
tem função de distribuição
ou seja, exatamente a função
desejada.