Seja uma v.a. contínua com densidade simétrica e tal que . Obtenha .
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Temos uma variável aleatória contínua , com densidade simétrica , e sabemos que segue uma exponencial de parâmetro . A gente precisa descobrir qual é essa densidade .”
Conteúdo: mudança de variável em densidade de v.a. contínua, uso de jacobiano e aproveitamento da simetria. Vamos precisar da fórmula geral para densidade de e do fato de que .
Passo 2
Define . Como é sempre e , sua densidade é
Por outro lado, pela fórmula de mudança de variável em v.a. contínua:
se e não é monotônica, a gente soma as contribuições de cada ramo inverso. Aqui tem duas inversas: e . Então
Passo 3
Calcule o derivado: ddy(raiz y)=12raiz y e o mesmo em valor absoluto vale para -raiz y. Assim
fY(y) =;fX(raiz y),12raiz y;+;fX(-raiz y),12raiz y =fX(raiz y)+fX(-raiz y)2raiz y
Passo 4
Agora usa a simetria: fX(raiz y)=fX(-raiz y). Chama esse valor de fX(raiz y). Fica
$$f_Y(y)=\frac{2,f_X(\sqrt y)}{2\sqrt y}
=\frac{f_X(\sqrt y)}{\sqrt y}.fY(y)=2,fX(raiz y)2raiz y =fX(raiz y)raiz yf_X(\sqrt y)=\sqrt y,f_Y(y).$$
Para voltar a fX(raiz y), basta notar que fX(raiz y)=raiz y,fY(y), x pode ser positivo ou negativo, mas o módulo trata os dois casos de uma só vez: