Seja X uma v.a. contínua com densidade simétrica f e tal que X^2 sim Exp(lambda), lambda>0. Obtenha f.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Temos uma variável aleatória contínua X, com densidade simétrica f, e sabemos que X^2 segue uma exponencial de parâmetro lambda>0. A gente precisa descobrir qual é essa densidade f.”
Conteúdo: mudança de variável em densidade de v.a. contínua, uso de jacobiano e aproveitamento da simetria. Vamos precisar da fórmula geral para densidade de Y=g(X) e do fato de que f(x)=f(-x).

Passo 2

Define Y = X^2. Como X^2 é sempre >=0 e Ysim Exp(lambda), sua densidade é
fY(y)=lambda e^-lambda y, y>=0
Por outro lado, pela fórmula de mudança de variável em v.a. contínua:
se Y=g(X) e g não é monotônica, a gente soma as contribuições de cada ramo inverso. Aqui g(x)=x^2 tem duas inversas: x=+raiz y e x=-raiz y. Então
fY(y)=fXl(raiz yr)l|ddy(raiz y)r| ;+; fXl(-raiz yr)l|ddy(-raiz y)r|

Passo 3

Calcule o derivado: ddy(raiz y)=12raiz y e o mesmo em valor absoluto vale para -raiz y. Assim
fY(y) =;fX(raiz y),12raiz y;+;fX(-raiz y),12raiz y =fX(raiz y)+fX(-raiz y)2raiz y

Passo 4

Agora usa a simetria: fX(raiz y)=fX(-raiz y). Chama esse valor de fX(raiz y). Fica
$$f_Y(y)=\frac{2,f_X(\sqrt y)}{2\sqrt y}
=\frac{f_X(\sqrt y)}{\sqrt y}. fY(y)=2,fX(raiz y)2raiz y =fX(raiz y)raiz yf_X(\sqrt y)=\sqrt y,f_Y(y).$$
Para voltar a fX(raiz y), basta notar que fX(raiz y)=raiz y,fY(y), x pode ser positivo ou negativo, mas o módulo trata os dois casos de uma só vez:
y=x^2

Passo 5

Substitui fY(x^2)=lambda e^-lambda x^2:
$$f_X(x)=|x|;\bigl(\lambda e^{-\lambda x^2}\bigr)
=\lambda,|x|,e^{-\lambda x^2},\quad x\in\mathbb R.$$

Resposta

boxedf(x)=lambda,|x|,e^-lambda x^2, xin R

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