Seja
. Obtenha a densidade de:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar a densidade de probabilidade de $ Y = X^2 $, onde $ X $ segue uma distribuição normal com média 0 e variância $ \sigma^{2} $, ou seja, $ X \sim N(0, \sigma^{2}) $. Vamos usar conceitos de estatística e cálculo para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que $ Y = X^2 $ transforma a variável aleatória $ X $ em $ Y $. Quando elevamos uma variável normal ao quadrado, ela passa a seguir uma distribuição chamada qui-quadrado. Mas como nossa $ X $ tem variância $ \sigma^{2} $, vamos adaptar isso para o nosso caso.
Passo 3
A função densidade de probabilidade (f.d.p.) da variável $ X $ é dada por:
Nossa meta é encontrar a f.d.p. de $ Y = X^2 $, ou seja, $ f_Y(y) $.
Passo 4
Para encontrar $ f_Y(y) $, vamos usar a técnica de transformação de variáveis. Sabemos que:
Como $ y \geq 0 $, consideramos ambas as soluções para $ x $.
Passo 5
A fórmula para a f.d.p. de $ Y $ é:
Calculando as derivadas:
Mas como estamos tomando o valor absoluto, ambas as derivadas ficam iguais a $ \frac{1}{2\sqrt{y}} $.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Como a distribuição de $ X $ é simétrica em torno de 0, $ f_X(\sqrt{y}) = f_X(-\sqrt{y}) $. Então:
Passo 7
Substituindo a expressão de $ f_X(x) $:
Passo 8
Simplificando a expressão final:
Resposta
A densidade de $ Y = X^{2} $ é dada por: