Seja X sim N(0, sigma^2). Obtenha a densidade de:
Y=X^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar a densidade de probabilidade de $ Y = X^2 $, onde $ X $ segue uma distribuição normal com média 0 e variância $ \sigma^{2} $, ou seja, $ X \sim N(0, \sigma^{2}) $. Vamos usar conceitos de estatística e cálculo para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que $ Y = X^2 $ transforma a variável aleatória $ X $ em $ Y $. Quando elevamos uma variável normal ao quadrado, ela passa a seguir uma distribuição chamada qui-quadrado. Mas como nossa $ X $ tem variância $ \sigma^{2} $, vamos adaptar isso para o nosso caso.

Passo 3

A função densidade de probabilidade (f.d.p.) da variável $ X $ é dada por:
X
Nossa meta é encontrar a f.d.p. de $ Y = X^2 $, ou seja, $ f_Y(y) $.

Passo 4

Para encontrar $ f_Y(y) $, vamos usar a técnica de transformação de variáveis. Sabemos que:
fY(y)
Como $ y \geq 0 $, consideramos ambas as soluções para $ x $.

Passo 5

A fórmula para a f.d.p. de $ Y $ é:
Y
Calculando as derivadas:
fY(y) = fX(raizy) | ddy raizy | + fX(-raizy) | ddy (-raizy) |
Mas como estamos tomando o valor absoluto, ambas as derivadas ficam iguais a $ \frac{1}{2\sqrt{y}} $.

Passo 6

Substituindo na fórmula:
fY(y) = fX(raizy) cdot 12raizy + fX(-raizy) cdot 12raizy
Como a distribuição de $ X $ é simétrica em torno de 0, $ f_X(\sqrt{y}) = f_X(-\sqrt{y}) $. Então:
X

Passo 7

Substituindo a expressão de $ f_X(x) $:
fX(x)

Passo 8

Simplificando a expressão final:
fY(y) = 1raiz2pi sigma raizy e^-y2sigma^2, para y > 0

Resposta

A densidade de $ Y = X^{2} $ é dada por:
Y = X^2

Exercícios relacionados