Seja
. Determine a função de distribuição e a densidade de:
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que
é uma variável aleatória uniformemente distribuída em
e quer a distribuição e a densidade de
. O assunto aqui é “transformação de variáveis” via função monotônica (a tangente é estritamente crescente nesse intervalo). Para resolver, a gente vai usar o método da função de distribuição (CDF) e depois derivar pra achar a densidade (PDF).
Passo 2
Vamos achar primeiro a CDF de
, que é
Como
é crescente em
, dá pra inverter sem medo:
E como
é uniforme em
,
Substituindo
,
Passo 3
Agora a densidade
é só derivar
em relação a
. Sabendo que
, vem
Resposta
Função de distribuição:
Densidade de probabilidade: