Seja Theta sim U[-pi / 2, pi / 2]. Determine a função de distribuição e a densidade de:
X=tan (Theta)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que é uma variável aleatória uniformemente distribuída em e quer a distribuição e a densidade de . O assunto aqui é “transformação de variáveis” via função monotônica (a tangente é estritamente crescente nesse intervalo). Para resolver, a gente vai usar o método da função de distribuição (CDF) e depois derivar pra achar a densidade (PDF).

Passo 2

Vamos achar primeiro a CDF de FX(x)=P(X<= x)=Pl(tan(Theta)<= xr) , que é
tan(Theta)<= x iff Theta<= arctan(x)
Como Pl(Theta<= yr) =y - (-tfracpi2)pi =y + tfracpi2pi é crescente em FX(x) =arctan(x)+tfracpi2pi =1pi,arctan(x)+tfrac12 , dá pra inverter sem medo:
E como é uniforme em ,
Substituindo ,

Passo 3

Agora a densidade fX(x) =FX'(x) =1pi;11+x^2 é só derivar em relação a . Sabendo que , vem

Resposta

Função de distribuição:
FX(x)=1pi,arctan(x)+12
Densidade de probabilidade:
fX(x)=1pi,(1+x^2)

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