(b) Seja z=f(x y). Use o resultado do Exercício 49 (a) para mostrar que
x partial zpartial x-y partial zpartial y=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma função da forma z = f(xy), vale a relação x ∂z/∂x – y ∂z/∂y = 0. O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra da cadeia para derivadas parciais, que possivelmente foi deduzida no Exercício 49(a).

Passo 2

Definimos u = x y, de modo que z = f(u). Pela regra da cadeia para derivadas parciais, temos as derivadas de z em relação a x e a y:
Calculando ∂z/∂x:
partial zpartial x = f'(u) cdot partial upartial x = f'(x y) cdot y
Calculando ∂z/∂y:
partial zpartial y = f'(u) cdot partial upartial y = f'(x y) cdot x

Passo 3

Agora substituímos essas derivadas na expressão x ∂z/∂x – y ∂z/∂y:
x partial zpartial x - y partial zpartial y = x l(y f'(x y)r) - y l(x f'(x y)r) = f'(x y) l(x y - y xr) = 0
Portanto, mostramos que a relação exigida é satisfeita.

Resposta

0

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