- (a) Mostre que se
e
satisfazem as equações de Cauchy-Riemann (Exercício 104, Seção 13.3) e se
, então
Isso é chamado de forma polar das equações de Cauchy–Riemann.
Passo 1
Resumo do problema: temos duas funções reais u(x,y) e v(x,y) que satisfazem as equações de Cauchy–Riemann em retângulos do plano xy, isto é, precisamos transformar derivadas em (x,y) para derivadas em coordenadas polares (r,θ) usando as relações x=r cosθ e y=r senθ, aplicando a regra da cadeia.
Passo 2
Pela regra da cadeia, obtemos as seguintes expressões:
Passo 3
As equações de Cauchy–Riemann dizem que
$$
u_x=v_y$$
$$
u_y=-v_x$$
Passo 4
Substituindo em
:
Passo 5
E também em
:
Passo 6
Comparando, vemos que
Passo 7
Agora, substituindo em
e em
:
Passo 8
Usando novamente
e
, obtemos
$$
u_x\sin\theta-u_y\cos\theta=v_y\sin\theta+v_x\cos\theta$$
Passo 9
Portanto
Resposta
As formas polares das equações de Cauchy–Riemann são:
e
.