1. (a) Mostre que se u(x, y) e v(x, y) satisfazem as equações de Cauchy-Riemann (Exercício 104, Seção 13.3) e se x=r cos theta, y=r sen theta, então
partial upartial r=1r partial vpartial theta e partial vpartial r=-1r partial upartial theta
Isso é chamado de forma polar das equações de Cauchy–Riemann.

Passo 1

Resumo do problema: temos duas funções reais u(x,y) e v(x,y) que satisfazem as equações de Cauchy–Riemann em retângulos do plano xy, isto é, precisamos transformar derivadas em (x,y) para derivadas em coordenadas polares (r,θ) usando as relações x=r cosθ e y=r senθ, aplicando a regra da cadeia.

Passo 2

Pela regra da cadeia, obtemos as seguintes expressões:
partial upartial r=uxcostheta+uysintheta
partial upartial theta=-r,uxsintheta+r,uycostheta
partial vpartial r=vxcostheta+vysintheta
partial vpartial theta=-r,vxsintheta+r,vycostheta

Passo 3

As equações de Cauchy–Riemann dizem que
$$
u_x=v_y$$
$$
u_y=-v_x$$

Passo 4

Substituindo em partial u/partial r:
partial upartial r=vycostheta+(-vx)sintheta=vycostheta-vxsintheta

Passo 5

E também em partial v/partial theta:
1rpartial vpartial theta=1r(-r,vxsintheta+r,vycostheta)=-vxsintheta+vycostheta

Passo 6

Comparando, vemos que
partial upartial r=1rpartial vpartial theta

Passo 7

Agora, substituindo em partial v/partial r e em -1/r,partial u/partial theta:
partial vpartial r=vxcostheta+vysintheta
-1rpartial upartial theta=-1r(-r,uxsintheta+r,uycostheta)=uxsintheta-uycostheta

Passo 8

Usando novamente ux=vy e uy=-vx, obtemos
$$
u_x\sin\theta-u_y\cos\theta=v_y\sin\theta+v_x\cos\theta$$

Passo 9

Portanto
partial vpartial r=-1rpartial upartial theta

Resposta

As formas polares das equações de Cauchy–Riemann são: partial u/partial r=1rpartial v/partial theta e partial v/partial r=-1rpartial u/partial theta.

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