Se A=[aij] com aij=cj i, i >= j 0, i<j, B=[bij] com B simétrica e bij=i+j, i <= j. Encontre:
C=B^2 é uma matriz anti-simétrica?

Passo 1

O enunciado dá uma matriz B de ordem n simétrica, cujos elementos são
bij = i + j, 1<= i,j<= n
Queremos formar
C = B^2
e verificar se C é antissimétrica, isto é, se vale
C^T = -,C

Passo 2

Pelo produto de matrizes, o elemento genérico de C é
cij ;=;sumk=1^n bik,bkj ;=;sumk=1^n(i+k)(k+j)

Passo 3

Expandindo o produto dentro da soma,
(i+k)(k+j) ;=; i,k ;+;k^2;+;k,j;+;i,j
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cij = sumk=1^n i,k ;+;sumk=1^n k^2;+;sumk=1^n k,j;+;sumk=1^n i,j
Chamando
S1 = sumk=1^n k, S2 = sumk=1^n k^2, n = sumk=1^n 1,
temos
cij = i,S1 ;+;S2;+;j,S1;+;i,j,n

Passo 4

Trocar i por j em cij
cji = j,S1 + S2 + i,S1 + j,i,n = cij
Isso mostra que C é simétrica ( C^T=C), e não antissimétrica ( C^Tneq -C salvo no caso trivial C=0).

Resposta

A matriz C=B^2 não é antissimétrica; ela é simétrica.

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