Desenhe vetores
em
de modo que suas combinações
preencham apenas uma reta. Encontre vetores
, w de modo que suas combinações
preencham apenas um plano.
Passo 1
O enunciado pede dois exemplos em
: um conjunto
cuja combinação linear
preencha apenas uma reta (ou seja, tenha dimensão de span igual a 1) e outro conjunto cujo span seja apenas um plano (dimensão igual a 2). Para isso vamos usar o conceito de dependência linear e span.
Passo 2
Para que o span seja uma reta, todos os vetores devem ser colineares, isto é, múltiplos escalares de um mesmo vetor não nulo. Uma escolha simples é:
Então
que é um vetor sobre a reta do eixo
.
Passo 3
Para que o span seja um plano, basta ter dois vetores linearmente independentes e o terceiro ser combinação linear deles. Por exemplo:
Aqui
e
são independentes e
. Qualquer combinação
fica no plano
, de modo que o span tem dimensão 2.
Resposta
Caso reta:
,
,
.
Caso plano:
,
,
.