Desenhe vetores u, v, w em R^3 de modo que suas combinações c u+d v+e w preencham apenas uma reta. Encontre vetores u, v, w de modo que suas combinações c u+d v+e w preencham apenas um plano.

Passo 1

O enunciado pede dois exemplos em R^3: um conjunto u,v,w cuja combinação linear cu+dv+ew preencha apenas uma reta (ou seja, tenha dimensão de span igual a 1) e outro conjunto cujo span seja apenas um plano (dimensão igual a 2). Para isso vamos usar o conceito de dependência linear e span.

Passo 2

Para que o span seja uma reta, todos os vetores devem ser colineares, isto é, múltiplos escalares de um mesmo vetor não nulo. Uma escolha simples é:
u = (1,0,0), v = (2,0,0), w = (3,0,0)
Então
cu+dv+ew =l(c+2d+3e,;0,;0r) =(c+2d+3e),(1,0,0),
que é um vetor sobre a reta do eixo x.

Passo 3

Para que o span seja um plano, basta ter dois vetores linearmente independentes e o terceiro ser combinação linear deles. Por exemplo:
u = (1,0,0), v = (0,1,0), w = (1,1,0)
Aqui u e v são independentes e w=u+v. Qualquer combinação
cu+dv+ew =l(c+e,;d+e,;0r)
fica no plano xy, de modo que o span tem dimensão 2.

Resposta

Caso reta:
u=(1,0,0), v=(2,0,0), w=(3,0,0).
Caso plano:
u=(1,0,0), v=(0,1,0), w=(1,1,0).

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