No espaço x y z, onde está o plano de todas as combinações lineares de i=(1,0,0) e i+j=(1,1,0) ?

Passo 1

Resumindo: queremos o subespaço gerado por i=(1,0,0) e i+ j=(1,1,0) no espaço R^3. O conteúdo aqui é entender span de vetores e identificar a equação cartesian a de um plano.

Passo 2

Pela definição de combinação linear, qualquer vetor do span pode ser escrito como
alpha, i ;+;beta,( i+ j),
onde alpha,betain R.

Passo 3

Calculando coordenadas:
alpha,(1,0,0);+;beta,(1,1,0) ;=;(alpha+beta,;beta,;0)
Chamando (x,y,z)=(alpha+beta,beta,0), vemos que z=0 e que x,y são livres (varrem R).

Passo 4

Isso mostra que o subespaço é
(x,y,0)mid x,yin R,
ou seja, o plano caracterizado por z=0.

Resposta

O conjunto de todas as combinações lineares de i e i+ j é o plano
z = 0
(no espaço xyz).

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