Cada combinação de v=(1,-2,1) e w=(0,1,-1) tem componentes que somam
. Encontre c e d tal que c v+d w=(3,3,-6). Por que (3,3,6) é impossível?

Passo 1

O enunciado trabalha com combinações lineares dos vetores v=(1,-2,1) e w=(0,1,-1). Primeiro vamos ver uma propriedade geral sobre a soma das componentes de qualquer combinação cv+dw. Depois, vamos determinar c e d para que
cv+dw=(3,3,-6)
e, por fim, explicar por que não existe combinação que dê (3,3,6).

Passo 2

Calculemos a soma das componentes de
cv+dw =c,(1,-2,1)+d,(0,1,-1) =(c,,-2c,,c)+(0,,d,,-d) =(c,,-2c+d,,c-d)
A soma das três componentes é
c + (-2c+d) + (c-d) = c - 2c + d + c - d =0
Logo, toda combinação linear de v e w tem soma das componentes igual a 0.

Passo 3

Para resolver
cv+dw=(3,3,-6),
comparamos componente a componente:
1. ccdot1 + dcdot0 = 3 Rightarrow c=3.
2. -2c + d = 3 Rightarrow -2cdot3 + d =3 Rightarrow -6 + d =3 Rightarrow d=9.
3. Verificação na terceira componente:
ccdot1 + dcdot(-1)=3 - 9 = -6, confere.

Passo 4

O vetor (3,3,6) tem soma das componentes 3+3+6=12neq0. Mas mostramos no Passo 2 que qualquer combinação cv+dw soma 0. Portanto não há como obter (3,3,6).

Resposta

c=3, d=9
O vetor (3,3,6) é impossível porque toda combinação de v e w tem soma das componentes igual a zero.

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