b) sumn=1^infty (-1)^nn^2+7

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série infinita sumn=1^infty(-1)^nn^2+7. O conteúdo é séries numéricas (teste de convergência) e vamos precisar do critério de Leibniz para séries alternadas e do comparativo com p-séries para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Definimos bn=1n^2+7. Primeiro notamos que bn>0 e bn+1=1(n+1)^2+7<1n^2+7=bn, ou seja, bn é decrescente. Além disso, limntoinftybn=0.

Passo 3

Pelo critério de Leibniz (ou critério das séries alternadas), como bn é decrescente, tende a zero, e os sinais alternam em (-1)^n, concluímos que a série converge (convergência condicional).

Passo 4

Para verificar convergência absoluta, consideramos sumn=1^infty|an|=sumn=1^infty1n^2+7. Como n^2+7>n^2, temos 1n^2+7<1n^2, e como sum1/n^2 é uma p-série com p=2>1 convergente, pelo critério da comparação a série de valores absolutos converge. Portanto a série original converge absolutamente.

Passo 5

Como a série converge absolutamente, ela converge definitivamente.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge).

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