Use o TFC para calcular o valor exato das integrais definidas: integral-2^1 t^3 cdot(t^2+3)^10 d t

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral integral-2^1 t^3,(t^2+3)^10,dt. O conteúdo principal é integração por substituição e o uso do Teorema Fundamental do Cálculo: precisamos encontrar uma primitiva em função de uma nova variável u e depois aplicar os limites de integração para obter o valor exato.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = t^2 + 3. Então du = 2t,dt. Note que t^3,dt = t^2cdot t,dt. Como t^2 = u-3 e t,dt = du2, temos
t^3,dt = (u-3)du2

Passo 3

Precisamos ajustar também os limites de integração. Quando t=-2, u = (-2)^2+3 = 7. Quando t=1, u = 1^2+3 = 4. Assim a integral vira
integral-2^1 t^3(t^2+3)^10,dt = integral7^4 12,(u-3),u^10,du

Passo 4

Expandindo o integrando e extraindo o fator tfrac12, obtemos
integral7^4 12,(u-3)u^10,du = integral7^4 12,(u^11-3u^10),du = 12integral7^4(u^11-3u^10),du
A primitiva de u^11-3u^10 é
u^1212-3u^1111,
posso então escrever a antiderivada completa como
F(u)=12l(u^1212-3u^1111r) =u^1224-3u^1122

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é
integral7^4 12(u^11-3u^10),du = F(4)-F(7)
Agora calculamos cada valor:

Passo 6

Calculando em u=4 e u=7:
F(4)=4^1224-3cdot4^1122, F(7)=7^1224-3cdot7^1122
Logo
integral-2^1t^3(t^2+3)^10,dt = F(4)-F(7) = l(4^1224-3cdot4^1122r)-l(7^1224-3cdot7^1122r)

Passo 7

Bastou agora simplificar a expressão. Colocando tudo sobre o mesmo denominador (264) e combinando termos, chega-se a
integral-2^1t^3(t^2+3)^10,dt = 4^14-41cdot7^11264

Resposta

$\frac{4{14}-41\cdot7{11}}{264}$

Exercícios relacionados