Exercício 0.3 Calcule a derivada das funções a seguir:
g(x)=(x^2+2 x+1x^2-2 x+1).

Passo 1

Neste exercício vamos derivar a função racional g(x)=x^2+2x+1x^2-2x+1. O conteúdo principal é a Regra do Quociente, que diz que se g(x)=u(x)v(x), então
g'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Precisamos identificar u(x), v(x) e calcular suas derivadas.

Passo 2

Identificamos
u(x)=x^2+2x+1, v(x)=x^2-2x+1
Como são polinômios, suas derivadas são
u'(x)=2x+2, v'(x)=2x-2

Passo 3

Aplicando a Regra do Quociente, obtemos
g'(x)=(2x+2)(x^2-2x+1)-(x^2+2x+1)(2x-2)(x^2-2x+1)^2

Passo 4

Vamos expandir cada termo do numerador. Primeiro:
(2x+2)(x^2-2x+1)=2x^3-2x^2-2x+2
Depois:
(x^2+2x+1)(2x-2)=2x^3+2x^2-2x-2

Passo 5

Subtraindo essas expressões:
2x^3-2x^2-2x+2 ;- l(2x^3+2x^2-2x-2r) = -4x^2+4 = -4(x^2-1)
Logo,
g'(x)=-4(x^2-1)(x^2-2x+1)^2

Passo 6

Para simplificar mais, note que x^2-1=(x-1)(x+1) e x^2-2x+1=(x-1)^2. Então
g'(x)=-4(x-1)(x+1)(x-1)^4 = -4(x+1)(x-1)^3, xneq1

Resposta

g'(x)=-4(x+1)(x-1)^3

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