(b) Use
como uma aproximação de
, e estime o erro cometido nessa aproximação.
Passo 1
Queremos aproximar
usando o polinômio de Taylor de grau 2 de
em torno de
. Para isso, vamos precisar de
,
e
.
Passo 2
Calculamos as derivadas de
:
Em
(como
) temos
Passo 3
O polinômio de Taylor de grau 2 em torno de
é
Substituindo
e os valores encontrados:
Passo 4
Para estimar o erro, usamos o resto de Taylor na forma de Lagrange:
A terceira derivada é
A terceira derivada é
e o resto é
para algum
. Como
é decrescente, o máximo de
ocorre em
.
Passo 5
Assim obtemos o limite do erro: