(b) Use P2(28) como uma aproximação de raiz[3]28, e estime o erro cometido nessa aproximação.

Passo 1

Queremos aproximar raiz[3]28 usando o polinômio de Taylor de grau 2 de f(x)=x^1/3 em torno de a=27. Para isso, vamos precisar de f(27), f'(27) e f''(27).

Passo 2

Calculamos as derivadas de f(x)=x^1/3:
f'(x)=13x^-2/3,
f''(x)=-29x^-5/3
Em x=27 (como 27^1/3=3) temos
f'(27)=127,
f''(27)=-22187

Passo 3

O polinômio de Taylor de grau 2 em torno de a=27 é
P2(x)=f(27)+f'(27)(x-27)+f''(27)2(x-27)^2
Substituindo x=28 e os valores encontrados:
P2(28)=3+127-12187 = 66412187approx3,0366

Passo 4

Para estimar o erro, usamos o resto de Taylor na forma de Lagrange:
A terceira derivada é
f^(3)(x)=1027x^-8/3,
e o resto é
R2(28)=f^(3)(xi)6(28-27)^3
para algum xiin[27,28]. Como x^-8/3 é decrescente, o máximo de |R2(28)| ocorre em xi=27.

Passo 5

Assim obtemos o limite do erro:
|R2(28)|<=1027cdot6,27^-8/3=5531441approx9,4times10^-6

Resposta

P2(28)=66412187approx3,0366 e o erro satisfaz |erro|<=5531441approx9,4times10^-6.

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