Calcule o polinômio de Taylor da função
, de ordem 5, em torno de
. Determine uma estimativa para o resto
com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o polinômio de Taylor da função $ f(x) = e^{-2x} $ de ordem 5, centrado em $ a = 0 $. Além disso, vamos estimar o resto $ R_5(x) $ para $ 0 \leq x \leq 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e séries de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Ele aproxima uma função por um polinômio ao redor de um ponto $ a $. A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem $ n $ é:
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ n = 5 $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = e^{-2x} $ até a quinta ordem:
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada em $ x = 0 $:
Passo 5
Vamos montar o polinômio de Taylor de ordem 5 usando os valores encontrados:
Substituindo os valores:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Agora, vamos estimar o resto $ R_5(x) $. A fórmula do resto na forma de Lagrange é:
onde $ c $ está entre $ a $ e $ x $. Para $ n = 5 $:
Sabemos que:
Como $ 0 \leq x \leq 1 $, o máximo de $ |f^{(6)}©| $ ocorre em $ c = 0 $:
Então:
Como $ x \leq 1 $:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 5 para $ f(x) = e^{-2x} $ em torno de $ a = 0 $ é:
A estimativa para o resto $ R_5(x) $ no intervalo $ 0 \leq x \leq 1 $ é: