Calcule o polinômio de Taylor da função f(x)=e^-2 x, de ordem 5, em torno de a=0. Determine uma estimativa para o resto R5(x) com 0 <= x <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o polinômio de Taylor da função $ f(x) = e^{-2x} $ de ordem 5, centrado em $ a = 0 $. Além disso, vamos estimar o resto $ R_5(x) $ para $ 0 \leq x \leq 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Ele aproxima uma função por um polinômio ao redor de um ponto $ a $. A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem $ n $ é:
a
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ n = 5 $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = e^{-2x} $ até a quinta ordem:
f(x) = e^-2x
f(x) = e^-2x
f'(x) = -2e^-2x
f''(x) = 4e^-2x
f'''(x) = -8e^-2x
f''''(x) = 16e^-2x

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada derivada em $ x = 0 $:
x = 0
f(0) = e^0 = 1
f'(0) = -2e^0 = -2
f''(0) = 4e^0 = 4
f'''(0) = -8e^0 = -8
f''''(0) = 16e^0 = 16

Passo 5

Vamos montar o polinômio de Taylor de ordem 5 usando os valores encontrados:
P5(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3 + f''''(0)4!x^4 + f^(5)(0)5!x^5
Substituindo os valores:
P5(x) = 1 - 2x + 42x^2 - 86x^3 + 1624x^4 - 32120x^5
Simplificando os coeficientes:
P5(x) = 1 - 2x + 2x^2 - 43x^3 + 23x^4 - 830x^5
P5(x) = 1 - 2x + 2x^2 - 43x^3 + 23x^4 - 415x^5

Passo 6

Agora, vamos estimar o resto $ R_5(x) $. A fórmula do resto na forma de Lagrange é:
R5(x)
onde $ c $ está entre $ a $ e $ x $. Para $ n = 5 $:
Rn(x) = f^(n+1)(c)(n+1)!(x - a)^n+1
Sabemos que:
c
Como $ 0 \leq x \leq 1 $, o máximo de $ |f^{(6)}©| $ ocorre em $ c = 0 $:
a
Então:
x
Como $ x \leq 1 $:
n = 5

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 5 para $ f(x) = e^{-2x} $ em torno de $ a = 0 $ é:
f(x) = e^-2x
A estimativa para o resto $ R_5(x) $ no intervalo $ 0 \leq x \leq 1 $ é:
a = 0

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