(a) Calcule o polinômio de Taylor de f(x)=sen x, de ordem 5, em torno de a=pi / 2.
(b) Para escrever a série de Taylor de f(x)=sen x, em torno de pi / 2, usando a série do cosseno, em torno de a=0, note que
sen x=sen[(x-pi2)+pi2]=sen(x-pi2) cos (pi2)+sen(pi2) cos (x-pi2)=cos (x-pi2)
visto que sen(pi / 2)=1 e que cos (pi / 2)=0.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 5 para f(x)=sin x em torno de a=pi/2, e em (b) reescrever a série usando a série de cos em torno de 0 via sin x=cos(x-pi/2). Vamos usar a definição de polinômio de Taylor e a série de Maclaurin de cos.

Passo 2

A fórmula do polinômio de Taylor de ordem n de uma função f em torno de a é
Tn(x)=sumk=0^nf^(k)(a)k!(x-a)^k
No caso, f=sin x, e suas derivadas cíclicas são:
f=sin x,
f'=cos x,
f''=-sin x,
f'''=-cos x,
f^(4)=sin x,
f^(5)=cos x.

Passo 3

Avaliando essas derivadas em a=pi/2:
sin(pi/2)=1,cos(pi/2)=0, -sin(pi/2)=-1, -cos(pi/2)=0, sin(pi/2)=1, cos(pi/2)=0.
Logo, até ordem 5 os coeficientes não nulos são f(a)=1, f''(a)=-1 e f^(4)(a)=1; os demais são zero.

Passo 4

Substituindo na fórmula de Taylor para n=5 resulta
T5(x)=1 - 12(x-tfracpi2)^2 + 124(x-tfracpi2)^4

Passo 5

Para (b), usamos sin x=cos(x-pi/2) e a série de Maclaurin de cos t:
cos t=summ=0^infty(-1)^mt^2m(2m)!
Basta substituir t=x-pi/2 e obtemos
sin x=summ=0^infty(-1)^m(x-tfracpi2)^2m(2m)!

Resposta

(a) Polinômio de Taylor de ordem 5:
T5(x)=1 - 12l(x-tfracpi2r)^2 + 124l(x-tfracpi2r)^4
(b) Série de Taylor em torno de pi/2:
sin x=summ=0^infty(-1)^m(x-tfracpi2)^2m(2m)!

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