(a) Calcule o polinômio de Taylor de
, de ordem 5, em torno de
.
(b) Para escrever a série de Taylor de
, em torno de
, usando a série do cosseno, em torno de
, note que
visto que
e que
.
(b) Para escrever a série de Taylor de
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 5 para
em torno de
, e em (b) reescrever a série usando a série de
em torno de 0 via
. Vamos usar a definição de polinômio de Taylor e a série de Maclaurin de
.
Passo 2
A fórmula do polinômio de Taylor de ordem
de uma função
em torno de
é
No caso,
, e suas derivadas cíclicas são:
,
,
,
,
,
.
Passo 3
Avaliando essas derivadas em
:
.
Logo, até ordem 5 os coeficientes não nulos são ,
e
; os demais são zero.
Logo, até ordem 5 os coeficientes não nulos são
Passo 4
Substituindo na fórmula de Taylor para
resulta
Passo 5
Para (b), usamos
e a série de Maclaurin de
:
Basta substituir
e obtemos
Resposta
(a) Polinômio de Taylor de ordem 5:
(b) Série de Taylor em torno de
: