(b) Use the shell method to find the volume of the solid that is generated by revolving the region between y=cos x and the x-axis, 0 <= x <= pi / 2, about the y-axis.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada por y=cos x, o eixo x e as retas x=0 e x=pi/2. O conteúdo é cálculo de volume pelo método das cascas cilíndricas.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas, cada fatia vertical em x (espessura dx) gera uma casca de raio x e altura y=cos x. A contribuição de volume dessa casca é
dV = 2pi times (raio) times (a<ura),dx = 2pi xcos x,dx
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V = 2pi integral0^pi/2 xcos x,dx

Passo 3

Para avaliar integral0^pi/2 xcos x,dx, usamos integração por partes. Escolhemos
u = x, dv = cos x,dx
de modo que
du = dx, v = sin x

Passo 4

Aplicando a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du, obtemos
integral xcos x,dx = xsin x - integral sin x,dx = xsin x + cos x + C

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a pi/2:
l[xsin x + cos xr]0^pi/2 = l(tfracpi2cdot1 + 0r) - (0 + 1) = tfracpi2 - 1

Passo 6

Substituindo nesse resultado, o volume fica
V = 2pil(tfracpi2 - 1r) = pi^2 - 2pi

Resposta

V = pi^2 - 2pi

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