Em cada caso, verifique que a função que estende o
-ésimo termo da série satisfaz às hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série.
(e)
.
(e)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
usando o Critério da Integral. Para isso, vamos considerar a função
e mostrar que ela é positiva, contínua e decrescente em
, e então calcular
para decidir sobre a convergência da série.
Passo 2
Mostramos que
é positiva, contínua e decrescente para
.
- Positividade e continuidade: para
temos e , logo , e e são funções contínuas, então é contínua. - Monotonia:
Para vale , logo . Assim e é decrescente em .
Passo 3
Calculamos a integral imprópria:
Fazemos a mudança de variável
, de modo que
. Quando
temos
e, quando
,
. Assim
Como a integral converge e
satisfaz as hipóteses do Critério da Integral, a série também converge.
Resposta
A série
converge.