Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz às hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série.
(e) sumn=1^infty arctg nn^2+1.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^inftyarctan(n)n^2+1
usando o Critério da Integral. Para isso, vamos considerar a função
;f(x)=arctan(x)x^2+1, x>=1,
e mostrar que ela é positiva, contínua e decrescente em [1,infty), e então calcular
integral1^inftyf(x),dx
para decidir sobre a convergência da série.

Passo 2

Mostramos que f é positiva, contínua e decrescente para x>=1.
  1. Positividade e continuidade: para x>=1 temos arctan(x)>0 e x^2+1>0, logo f(x)>0, e arctan(x) e x^2+1 são funções contínuas, então f é contínua.
  2. Monotonia: f'(x) =(arctan(x))' (x^2+1)-arctan(x),(x^2+1)'(x^2+1)^2 =11+x^2,(x^2+1)-arctan(x),2x(x^2+1)^2 =1-2x,arctan(x)(x^2+1)^2 Para x>=1 vale 2x,arctan(x)>=2cdot1cdotpi4=pi2>1, logo 1-2x,arctan(x)<0. Assim f'(x)<0 e f é decrescente em [1,infty).

Passo 3

Calculamos a integral imprópria:
integral1^inftyarctan(x)x^2+1,dx
Fazemos a mudança de variável u=arctan(x), de modo que du=dxx^2+1. Quando x=1 temos u=pi4 e, quando xtoinfty, utopi2. Assim
integral1^inftyarctan(x)x^2+1,dx =integralpi/4^pi/2u,du =[u^22]pi/4^pi/2 =(pi/2)^2-(pi/4)^22 =3pi^232<infty
Como a integral converge e f satisfaz as hipóteses do Critério da Integral, a série também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyarctan(n)n^2+1 converge.

Exercícios relacionados