Calcule os seguintes limites
(i) lim x 0(1+2 x)^1x

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxto0(1+2x)^1x
O conteúdo aqui é um limite do tipo 1^infty, e para resolver isso vamos usar logaritmo natural e propriedades de limites.

Passo 2

Defina
y = (1+2x)^1x
Tomando o logaritmo natural, obtemos
ln y = ln(1+2x)x

Passo 3

Vamos calcular o limite de ln y:
limxto0ln y = limxto0ln(1+2x)x
Esse é um caso de forma 0/0, então aplicamos a Regra de L’Hôpital:
limxto0ln(1+2x)x = limxto0ddxl[ln(1+2x)r]ddx[x] = limxto0tfrac21+2x1 = 2

Passo 4

Como ln yto2 e a função exponencial é contínua, temos
limxto0y = limxto0e^ln y = e^2

Resposta

e^2

Exercícios relacionados