Calcule os seguintes limites
(n) lim x 0^+ 3^x-1x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
limx 0^+ 3^x - 1x^2
Isso está relacionado ao estudo de limites, uma parte fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como funções exponenciais se comportam perto de certos pontos e usar uma técnica conhecida como Regra de l’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando x se aproxima de 0 pela direita ( 0^+ ).
  • Numerador: 3^x - 1 . Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então quando x se aproxima de 0, 3^x se aproxima de 1. Assim, 3^x - 1 se aproxima de 0.
  • Denominador: x^2 . Quando x se aproxima de 0, x^2 também se aproxima de 0.
Então, temos uma situação do tipo 00 , que é um caso onde a Regra de l’Hôpital pode ser aplicada.

Passo 3

A Regra de l’Hôpital diz que se temos um limite onde tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 ou ao infinito, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente. Ou seja:
limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x) se f(x)g(x) resu<a em 00 ou inftyinfty
Aplicando isso ao nosso limite:
f(x) = 3^x - 1 e g(x) = x^2
Vamos derivar f(x) e g(x) .

Passo 4

Calculando as derivadas:
  • Derivada do numerador f(x) = 3^x - 1 :
    A derivada de 3^x em relação a x é 3^x ln 3 , e a derivada de uma constante é 0. Então:
f'(x) = 3^x ln 3
  • Derivada do denominador g(x) = x^2 :
    A derivada de x^2 é 2x .
g'(x) = 2x

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de l’Hôpital substituindo f'(x) e g'(x) no limite:
limx 0^+ 3^x - 1x^2 = limx 0^+ 3^x ln 32x
Vamos verificar novamente o comportamento do numerador e denominador quando x se aproxima de 0.
  • Numerador: 3^x ln 3 se aproxima de 1 cdot ln 3 = ln 3 .
  • Denominador: 2x se aproxima de 0.
Então, o limite agora está na forma ln 30 , que tende a +infty .

Resposta

O limite é +infty.

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