Calcule os seguintes limites
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Isso está relacionado ao estudo de limites, uma parte fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como funções exponenciais se comportam perto de certos pontos e usar uma técnica conhecida como Regra de l’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 0 pela direita (
).
-
Numerador:
. Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então quando se aproxima de 0, se aproxima de 1. Assim, se aproxima de 0. -
Denominador:
. Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0.
Então, temos uma situação do tipo
, que é um caso onde a Regra de l’Hôpital pode ser aplicada.
Passo 3
A Regra de l’Hôpital diz que se temos um limite onde tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 ou ao infinito, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente. Ou seja:
Aplicando isso ao nosso limite:
Vamos derivar
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
-
Derivada do numerador
: A derivada deem relação a é , e a derivada de uma constante é 0. Então:
-
Derivada do denominador
: A derivada deé .
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de l’Hôpital substituindo
e
no limite:
Vamos verificar novamente o comportamento do numerador e denominador quando
se aproxima de 0.
-
Numerador:
se aproxima de . -
Denominador:
se aproxima de 0.
Então, o limite agora está na forma
, que tende a
.
Resposta
O limite é
.