se e somente se
.
Passo 1
Então, o enunciado diz que, para dois conjuntos
e
, a diferença
(ou seja, os elementos que estão em
mas não em
) é vazia se, e somente se, a diferença entre as respectivas partes-poder (power sets)
e
também for vazia.
Conteúdo: teoria de conjuntos—diferença de conjuntos e definição de power set .
Vamos precisar lembrar que
Conteúdo: teoria de conjuntos—diferença de conjuntos e definição de power set
Vamos precisar lembrar que
-
-
é o conjunto de todos os subconjuntos de .
E queequivale a dizer que todo subconjunto de também é subconjunto de , ou seja, .
Passo 2
Provar que, se
, então
.
-
significa que não existe elemento em fora de . Logo, todo está em . Isto é, . - Agora, pegue qualquer subconjunto
. Por definição de , . - Como
, segue . Então esse também pertence a . - Concluímos que nenhum
de fica de fora de , ou seja, . - Portanto,
.
Passo 3
Provar que, se
, então
.
-
implica . - Em particular, para cada
, o conjunto é um subconjunto de , logo . - Como
, obrigatoriamente , ou seja, . - Se
, temos . - Como isso vale para todo
, segue , e portanto .
Resposta
Mostramos as duas implicações e, assim, provamos que