A-B=varnothing se e somente se P(A)-P(B)=varnothing.

Passo 1

Então, o enunciado diz que, para dois conjuntos e , a diferença (ou seja, os elementos que estão em mas não em ) é vazia se, e somente se, a diferença entre as respectivas partes-poder (power sets) e também for vazia.
Conteúdo: teoria de conjuntos—diferença de conjuntos e definição de power set .
Vamos precisar lembrar que
  1. é o conjunto de todos os subconjuntos de .
    E que equivale a dizer que todo subconjunto de também é subconjunto de , ou seja, .

Passo 2

Provar que, se , então .
  1. significa que não existe elemento em fora de . Logo, todo está em . Isto é, .
  2. Agora, pegue qualquer subconjunto . Por definição de , .
  3. Como , segue . Então esse também pertence a .
  4. Concluímos que nenhum de fica de fora de , ou seja, .
  5. Portanto, .

Passo 3

Provar que, se , então .
  1. implica .
  2. Em particular, para cada , o conjunto é um subconjunto de , logo .
  3. Como , obrigatoriamente , ou seja, .
  4. Se , temos .
  5. Como isso vale para todo , segue , e portanto .

Resposta

Mostramos as duas implicações e, assim, provamos que
A - B = varnothing Long<=ftrightarrow P(A) - P(B) = varnothing

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