Prove que:
ix) Se
e
.
ix) Se
Passo 1
Beleza, o enunciado é: “Prove que, se
e
, então
.”
Conteúdo: operações com conjuntos (união) e relação de inclusão (subconjunto).
O que vamos usar:
Conteúdo: operações com conjuntos (união) e relação de inclusão (subconjunto).
O que vamos usar:
- Definição de subconjunto:
significa “todo elemento de também está em ”. - Definição de união:
significa “ ou ”. - Estrutura de prova direta de inclusão: pego um elemento genérico de
e mostro que ele está em .
Passo 2
Começamos escolhendo um elemento qualquer de
. Assim, seja
Passo 3
Pela definição de união, essa condição vira:
Passo 4
Como sabemos que
, qualquer elemento de
está em
. Logo, se
então
.
Do mesmo jeito, implica que, se
, então
.
Portanto, em ambos os casos (se veio de
ou de
), a gente tem
.
Do mesmo jeito,
Portanto, em ambos os casos (se
Passo 5
Acabamos de mostrar que “se
, então
”. Como
era um elemento genérico, isso prova que todo elemento de
está em
.