Prove que:
ix) Se A subset X e B subset X Rightarrow A cup B subset X.

Passo 1

Beleza, o enunciado é: “Prove que, se e , então .”
Conteúdo: operações com conjuntos (união) e relação de inclusão (subconjunto).
O que vamos usar:
  1. Definição de subconjunto: significa “todo elemento de também está em ”.
  2. Definição de união: significa “ ou ”.
  3. Estrutura de prova direta de inclusão: pego um elemento genérico de e mostro que ele está em .

Passo 2

Começamos escolhendo um elemento qualquer de x in A cup B . Assim, seja

Passo 3

Pela definição de união, essa condição vira:
x in A ou x in B

Passo 4

Como sabemos que , qualquer elemento de está em . Logo, se então .
Do mesmo jeito, implica que, se , então .
Portanto, em ambos os casos (se veio de ou de ), a gente tem .

Passo 5

Acabamos de mostrar que “se , então ”. Como era um elemento genérico, isso prova que todo elemento de está em .

Resposta

A cup B ;subset; X

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