Se
e
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Se
, então
e também
.”
Isso é teoria de conjuntos, mais especificamente produto cartesiano e inclusão de conjuntos.
O que vamos precisar:
Isso é teoria de conjuntos, mais especificamente produto cartesiano e inclusão de conjuntos.
O que vamos precisar:
- Definição de inclusão:
significa que todo elemento de também está em . - Definição de produto cartesiano:
- Técnica de prova direta: pegar um elemento genérico de um conjunto e mostrar que ele pertence ao outro.
Passo 2
Provar
:
- Pegamos um par qualquer
. - Pela definição de produto cartesiano, isso diz que
e . - Como assumimos
, todo está em . Logo . - Como
continua valendo, juntamos e vemos que satisfaz e . - Então, pela definição de
, . - Como o par era genérico, isso prova que todo elemento de
está em .
Passo 3
Provar
:
- Agora pegamos um par qualquer
. - Da definição,
e . - De novo usamos
para concluir . - Então
satisfaz e , ou seja, . - Como o par era genérico, toda escolha em
vai pra .
Resposta
Mostramos, com prova direta e usando a definição de inclusão e produto cartesiano, que se
então