Se A subset B Rightarrow A times C subset B times C e C times A subset C times B.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Se Atimes C = (x,y)mid xin A,;yin C , então e também .”
Isso é teoria de conjuntos, mais especificamente produto cartesiano e inclusão de conjuntos.
O que vamos precisar:
  1. Definição de inclusão: significa que todo elemento de também está em .
  2. Definição de produto cartesiano:
  3. Técnica de prova direta: pegar um elemento genérico de um conjunto e mostrar que ele pertence ao outro.

Passo 2

Provar :
  1. Pegamos um par qualquer .
  2. Pela definição de produto cartesiano, isso diz que e .
  3. Como assumimos , todo está em . Logo .
  4. Como continua valendo, juntamos e vemos que satisfaz e .
  5. Então, pela definição de , .
  6. Como o par era genérico, isso prova que todo elemento de está em .

Passo 3

Provar :
  1. Agora pegamos um par qualquer .
  2. Da definição, e .
  3. De novo usamos para concluir .
  4. Então satisfaz e , ou seja, .
  5. Como o par era genérico, toda escolha em vai pra .

Resposta

Mostramos, com prova direta e usando a definição de inclusão e produto cartesiano, que se Atimes Csubset Btimes C e Ctimes Asubset Ctimes B então

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