- A. Determine lim sup e lim inf para as seguintes seqüências limitadas em
:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede: determinar
e
da sequência real limitada
Informações dadas:
- A sequência é
. - Quer-se calcular
e .
Passo 2
Definições e ideias fundamentais (explicação didática):
- A definição por subsequências:
é o maior limite de subsequências convergentes de , e é o menor limite de subsequências convergentes. - A definição em termos de sup/inf das caudas: para cada
define-se Então
Intuição prática: identificar subsequências simples (por exemplo, índices pares e ímpares) costuma ser a forma mais rápida de achar os limites parciais.
Passo 3
Separar a sequência em índices pares e ímpares (explicação passo a passo):
- Para
par escreva com . Então Como temos , logo Assim existe uma subsequência (a dos índices pares) que converge para . - Para
ímpar escreva com . Então Como temos , logo Assim existe uma subsequência (a dos índices ímpares) que converge para .
Passo 4
Conclusão a partir das subsequências (explicação didática):
- Os limites parciais possíveis (os limites de subsequências convergentes) incluem pelo menos os valores
e . - Não há outros limites parciais, porque cada termo da sequência é sempre da forma
(quando é par) ou (quando é ímpar), e ambos os tipos tendem respectivamente a e . Portanto o conjunto de limites de subsequências é . - Pelo que foi dito na Passo 2,
é o maior desses limites e é o menor.
Passo 5
Verificação alternativa via supremos e ínfimos das caudas (opcional, para reforçar entendimento):
- Para um
fixo, na cauda aparecem termos de ambos os tipos (pares e ímpares). O supremo da cauda é dado pelo maior valor entre esses termos, que acontece em um termo par com o menor índice par ; esse supremo vale para algum . À medida que esse menor índice par também cresce e . Logo . - Analogamente, o ínfimo da cauda é alcançado por um termo ímpar com menor índice ímpar
e vale , que tende a quando . Logo . - Isso confirma os resultados obtidos via subsequências.