1. A. Determine lim sup e lim inf para as seguintes seqüências limitadas em \boldsymbol{R} :
    (c) \left((-1)^{n}+1 / n\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar \limsup e \liminf da sequência real limitada
\left((-1)^{n}+\frac{1}{n}\right)_{n\ge1}.
Informações dadas:
  • A sequência é x_n = (-1)^{n} + \dfrac{1}{n}.
  • Quer-se calcular \limsup_{n\to\infty} x_n e \liminf_{n\to\infty} x_n.

Passo 2

Definições e ideias fundamentais (explicação didática):
  • A definição por subsequências: \limsup_{n\to\infty} x_n é o maior limite de subsequências convergentes de (x_n), e \liminf_{n\to\infty} x_n é o menor limite de subsequências convergentes.
  • A definição em termos de sup/inf das caudas: para cada n define-se s_n=\sup_{k\ge n} x_k,\qquad i_n=\inf_{k\ge n} x_k.Então \limsup_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty} s_n,\qquad \liminf_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty} i_n.
Intuição prática: identificar subsequências simples (por exemplo, índices pares e ímpares) costuma ser a forma mais rápida de achar os limites parciais.

Passo 3

Separar a sequência em índices pares e ímpares (explicação passo a passo):
  • Para n par escreva n=2m com m\ge1. Então x_{2m}=(-1)^{2m}+\frac{1}{2m}=1+\frac{1}{2m}.Como m\to\infty temos \dfrac{1}{2m}\to0, logo \lim_{m\to\infty} x_{2m}=1.Assim existe uma subsequência (a dos índices pares) que converge para 1.
  • Para n ímpar escreva n=2m+1 com m\ge0. Então x_{2m+1}=(-1)^{2m+1}+\frac{1}{2m+1}=-1+\frac{1}{2m+1}.Como m\to\infty temos \dfrac{1}{2m+1}\to0, logo \lim_{m\to\infty} x_{2m+1}=-1.Assim existe uma subsequência (a dos índices ímpares) que converge para -1.

Passo 4

Conclusão a partir das subsequências (explicação didática):
  • Os limites parciais possíveis (os limites de subsequências convergentes) incluem pelo menos os valores 1 e -1.
  • Não há outros limites parciais, porque cada termo da sequência é sempre da forma 1+\dfrac{1}{n} (quando n é par) ou -1+\dfrac{1}{n} (quando n é ímpar), e ambos os tipos tendem respectivamente a 1 e -1. Portanto o conjunto de limites de subsequências é \{-1,\,1\}.
  • Pelo que foi dito na Passo 2, \limsup é o maior desses limites e \liminf é o menor.

Passo 5

Verificação alternativa via supremos e ínfimos das caudas (opcional, para reforçar entendimento):
  • Para um n fixo, na cauda k\ge n aparecem termos de ambos os tipos (pares e ímpares). O supremo da cauda é dado pelo maior valor entre esses termos, que acontece em um termo par com o menor índice par \ge n; esse supremo vale 1+\dfrac{1}{m_{\text{par}}} para algum m_{\text{par}}\ge1. À medida que n\to\infty esse menor índice par também cresce e 1+\dfrac{1}{m_{\text{par}}}\to1. Logo \lim_{n\to\infty} s_n=1.
  • Analogamente, o ínfimo da cauda é alcançado por um termo ímpar com menor índice ímpar \ge n e vale -1+\dfrac{1}{m_{\text{ímpar}}}í, que tende a -1 quando n\to\infty. Logo \lim_{n\to\infty} i_n=-1.
  • Isso confirma os resultados obtidos via subsequências.

Resposta

\limsup_{n\to\infty}\left((-1)^{n}+\dfrac{1}{n}\right)=1
\liminf_{n\to\infty}\left((-1)^{n}+\dfrac{1}{n}\right)=-1

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