已知 (a, b) 為點 (3,5) 沿直線 3 x+4 y+1=0 反射的像, 求 a+b 的值。 It is known that (a, b) is the image when (3,5) is reflected along 3 x+4 y+1=0. Find the value of a+b.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o ponto P(3,5) e a reta 3x+4y+1=0. Queremos refletir P nessa reta, obter o ponto (a,b) imagem e então calcular a soma a+b. O conteúdo é reflexão de ponto em reta na geometria analítica.

Passo 2

Para refletir o ponto P(x₀,y₀) na reta Ax+By+C=0 usamos a fórmula
x'=x₀-2AAx₀+By₀+CA^2+B^2, y'=y₀-2BAx₀+By₀+CA^2+B^2
Aqui A=3, B=4, C=1.

Passo 3

Calculamos primeiro o valor de Ax₀+By₀+C com x₀=3 e y₀=5:
Ax₀+By₀+C=3cdot3+4cdot5+1=9+20+1=30,
e também A2+B2=32+42=9+16=25.

Passo 4

Substituindo na fórmula temos
a=x'=3-2cdot33025=3-18025=3-365=-215,
b=y'=5-2cdot43025=5-24025=5-485=-235
Portanto
a+b=-215-235=-445

Resposta

-\frac{44}{5}

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