Considere a função
f(x)=sen(x^2-5 x)+x^2-10 x+252 x^2-6 x-20
Encontre as assíntotas verticais e horizontais de f(x) e determine qual das seguintes afirmações é verdadeira:
As assíntota verticais são x=5 e x=-2, e a única assíntota horizontal é y=1 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
Isso envolve entender o que são assíntotas e como encontrá-las em funções racionais. Para isso, vamos precisar analisar o comportamento do numerador e do denominador da função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter assíntotas verticais. Assíntotas verticais acontecem onde o denominador é zero e o numerador não é zero nesses pontos. Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
2 x^2 - 6 x - 20 = 0
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:
x^2 - 3 x - 10 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x = 3 pm raiz9 + 402 = 3 pm raiz492 = 3 pm 72
Isso nos dá duas soluções:
x = 3 + 72 = 5 e x = 3 - 72 = -2
Então, as possíveis assíntotas verticais estão em e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se nesses pontos o numerador também é zero, pois se for, pode haver um ponto de interseção em vez de uma assíntota vertical. Vamos calcular o numerador para sen(5^2 - 5 times 5) + 5^2 - 10 times 5 + 25 = sen(25 - 25) + 25 - 50 + 25 = sen(0) + 0 = 0 + 0 = 0 e sen((-2)^2 - 5 times (-2)) + (-2)^2 - 10 times (-2) + 25 = sen(4 + 10) + 4 + 20 + 25 = sen(14) + 49 neq 0 .
Para :
Para :
Então, em , tanto o numerador quanto o denominador são zero, indicando que pode haver um ponto de interseção ou uma assíntota removível. Já em , apenas o denominador é zero, confirmando uma assíntota vertical.

Passo 4

Assim, temos uma assíntota vertical apenas em . A afirmação que inclui como assíntota vertical está incorreta.
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para funções racionais, as assíntotas horizontais são determinadas comparando os graus do numerador e do denominador.

Passo 5

O grau do numerador é determinado pelo termo de maior grau. No numerador:
Aqui, sen(x^2 - 5x) + x^2 - 10x + 25 é o termo de maior grau (grau 2).
No denominador:
2 x^2 - 6 x - 20,
o termo de maior grau também é y = 12 (grau 2).
Quando os graus do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Portanto:
Então, a única assíntota horizontal é .

Resposta

A assíntota vertical é e a assíntota horizontal é . Portanto, a afirmação correta é que a única assíntota horizontal é , mas não é uma assíntota vertical.

Exercícios relacionados