Considere a função
Encontre as assíntotas verticais e horizontais de
e determine qual das seguintes afirmações é verdadeira:
As assíntota verticais são x=5 e x=-2, e a única assíntota horizontal é
.
As assíntota verticais são x=5 e x=-2, e a única assíntota horizontal é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
Isso envolve entender o que são assíntotas e como encontrá-las em funções racionais. Para isso, vamos precisar analisar o comportamento do numerador e do denominador da função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter assíntotas verticais. Assíntotas verticais acontecem onde o denominador é zero e o numerador não é zero nesses pontos. Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as possíveis assíntotas verticais estão em
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se nesses pontos o numerador também é zero, pois se for, pode haver um ponto de interseção em vez de uma assíntota vertical. Vamos calcular o numerador para
e
.
Para
:
Para
:
Então, em
, tanto o numerador quanto o denominador são zero, indicando que pode haver um ponto de interseção ou uma assíntota removível. Já em
, apenas o denominador é zero, confirmando uma assíntota vertical.
Passo 4
Assim, temos uma assíntota vertical apenas em
. A afirmação que inclui
como assíntota vertical está incorreta.
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para funções racionais, as assíntotas horizontais são determinadas comparando os graus do numerador e do denominador.
Passo 5
O grau do numerador é determinado pelo termo de maior grau. No numerador:
Aqui,
é o termo de maior grau (grau 2).
No denominador:
o termo de maior grau também é
(grau 2).
Quando os graus do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Portanto:
Então, a única assíntota horizontal é
.
Resposta
A assíntota vertical é
e a assíntota horizontal é
. Portanto, a afirmação correta é que a única assíntota horizontal é
, mas
não é uma assíntota vertical.