Questão 8 [2,0 pontos] Considere a função
. Encontre, se existir,
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar os valores de
que satisfazem a função
igual a zero. Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender quando o logaritmo natural de uma fração é igual a zero.
Passo 2
Sabemos que o logaritmo natural de um número é zero quando esse número é igual a 1. Ou seja, se
, então
. Aplicando isso à nossa função:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação
. Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Em seguida, vamos trazer todos os termos para um lado da equação para formar uma equação quadrática:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Podemos fatorá-la da seguinte maneira:
Isso nos dá duas soluções possíveis:
Passo 5
Antes de concluir, devemos verificar se essas soluções são válidas no contexto da função original. Isso significa garantir que o denominador
não seja zero e que a expressão dentro do logaritmo seja positiva.
Para
:
Para
:
Resposta
O valor de
que satisfaz
é
.