Questão 8 [2,0 pontos] Considere a função f(x)=ln (x^2-45 x-10). Encontre, se existir, x in R tal que f(x)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar os valores de que satisfazem a função igual a zero. Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender quando o logaritmo natural de uma fração é igual a zero.

Passo 2

Sabemos que o logaritmo natural de um número é zero quando esse número é igual a 1. Ou seja, se ln (x^2-45x-10) = 0 implies x^2-45x-10 = 1 , então . Aplicando isso à nossa função:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação x^2 - 4 = 5x - 10 . Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por x^2 - 5x + 6 = 0 para eliminar o denominador:
Em seguida, vamos trazer todos os termos para um lado da equação para formar uma equação quadrática:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática (x - 2)(x - 3) = 0 . Podemos fatorá-la da seguinte maneira:
x - 2 = 0 implies x = 2
Isso nos dá duas soluções possíveis:
x - 3 = 0 implies x = 3

Passo 5

Antes de concluir, devemos verificar se essas soluções são válidas no contexto da função original. Isso significa garantir que o denominador 5(2) - 10 = 0 (Denominador zero, inválido) não seja zero e que a expressão dentro do logaritmo seja positiva.
Para 3^2 - 45(3) - 10 = 9 - 415 - 10 = 55 = 1 (Válido) :
á
Para :
á

Resposta

O valor de que satisfaz é .

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