b) y^prime prime-2 y^prime+y=e^x arctg x

Passo 1

O exercício pede para resolver a equação diferencial linear não-homogênea de segunda ordem y''-2y'+y=e^xarctgx. O conteúdo envolve equações lineares com coeficientes constantes e vamos usar o método dos parâmetros variáveis para encontrar a solução particular. Precisamos achar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para montar a solução geral.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos y''-2y'+y=0. A equação característica é r^2-2r+1=0, que fatoriza como (r-1)^2=0, com raiz dupla r=1. Logo as soluções fundamentais são
y1=e^x, y2=xe^x
Então a solução homogênea é
yh=(C1+C2x)e^x

Passo 3

Agora usamos o método dos parâmetros variáveis. Assumimos uma solução particular na forma yp=u1(x)y1+u2(x)y2. Calculamos o Wronskiano:
W=y1&y2y1'&y2' =e^x&xe^xe^x&(1+x)e^x =e^2x
As fórmulas para u1' e u2' são
$$
u_1’=-\frac{y_2,f(x)}{W},\quad u_2’=\frac{y_1,f(x)}{W},$$
onde u1'=-y2,f(x)W, u2'=y1,f(x)W,.

Passo 4

Substituindo em u1' e u2' temos
u1'=-xe^xcdot e^xarctgxe^2x=-xarctgx,
u2'=e^xcdot e^xarctgxe^2x=arctgx
Agora integramos:
Para u1=integral -xarctgx,dx, use integração por partes escolhendo U=arctgx e dV=x,dx. Isso dá
integral xarctgx,dx=x^22arctgx-12l(x-arctgxr) =x^2+12arctgx-x2
Logo
u1= -l(x^2+12arctgx-x2r)= -x^2+12arctgx+x2
E para u2=integral arctgx,dx, também por partes ( U=arctgx, dV=dx)
u2=xarctgx-12ln(1+x^2)

Passo 5

A solução particular é
yp=u1y1+u2y2=e^xl(u1+xu2r)
Substituindo u1 e u2 e agrupando, obtemos
yp=e^xl[x^2-12arctgx+x2-x2ln(1+x^2)r]

Resposta

A solução geral é
y = y_h + y_p = e^x\Bigl(C_1+C_2x + \frac{x^2-1}{2}\operatorname{arctg}x + \frac{x}{2} - \frac{x}{2}\ln(1+x^2)\Bigr).

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