Determine todos os números reais que satisfazem cada uma das seguintes equações.
(\mathrm{B} 2-2021) \cdot \sqrt{16-(x+3) \sqrt{1-(x-4) \sqrt{1+(x-5)(x-7)}}}=12 x-2 x^{2}-16 Lembre-se que \sqrt{a^{2}}=|a|.

Passo 1

O enunciado dá a equação
\sqrt{16-(x+3)\sqrt{\,1-(x-4)\sqrt{\,1+(x-5)(x-7)\,}\,}}=12x-2x^{2}-16
e pede: determinar todos os números reais x que satisfazem essa igualdade.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A expressão do lado esquerdo é uma raiz quadrada principal, logo seu valor é sempre não negativo: \sqrt{\cdot}\ge0.
  • Foi lembrado que \sqrt{a^{2}}=|a|.
  • Para que a equação faça sentido:
    • o conteúdo da raiz mais interna 1+(x-5)(x-7) deve ser \ge0;
    • o conteúdo da raiz intermediária 1-(x-4)\sqrt{1+(x-5)(x-7)} deve ser \ge0;
    • o conteúdo da raiz externa 16-(x+3)\sqrt{\,1-(x-4)\sqrt{1+(x-5)(x-7)}\,} deve ser \ge0.
  • Além disso, como o lado esquerdo é não negativo, o lado direito também deve ser \ge0. Ou seja: 12x-2x^{2}-16 \ge 0.

Passo 2

Vou simplificar as expressões internas procurando padrões algébricos. Primeiro observe a raiz mais interna:
1+(x-5)(x-7).
Desenvolvendo:
1+(x-5)(x-7)=1+x^{2}-12x+35=x^{2}-12x+36.
Esse trinômio é um quadrado perfeito:
x^{2}-12x+36=(x-6)^{2}.
Portanto
\sqrt{\,1+(x-5)(x-7)\,}=\sqrt{(x-6)^{2}}=|x-6|.
Aqui é importante lembrar: \sqrt{(x-6)^{2}}=|x-6|, e o sinal de |x-6| depende do valor de x.

Passo 3

Usando o resultado anterior, a expressão da raiz intermediária é
1-(x-4)\sqrt{1+(x-5)(x-7)}=1-(x-4)|x-6|.
Agora observe que o domínio da equação exigirá que isso seja \ge0, mas antes de impôr domínio vamos continuar a simplificação explorando os intervalos de x que tornam |x-6| simples.
Como o lado direito da equação deve ser não negativo, vamos já usar essa observação para restringir x. O lado direito é
12x-2x^{2}-16=-2(x-2)(x-4).
Exigindo -2(x-2)(x-4)\ge0 e dividindo por -2 (mudando o sinal da desigualdade) obtemos
(x-2)(x-4)\le0,
ou seja
x\in[2,4].
Portanto quaisquer soluções candidatas precisam estar em [2,4]. Isso facilita os valores absolutos: para x\in[2,4] temos x-6\le -2, logo |x-6|=6-x. Também x-5\le -1 e x-1\ge1, informações úteis adiante.

Passo 4

Agora, para x\in[2,4] substituímos |x-6|=6-x na raiz intermediária:
1-(x-4)|x-6|=1-(x-4)(6-x).
Faço a conta passo a passo:
(x-4)(6-x)=6x-24-x^{2}+4x=-x^{2}+10x-24.
Então
1-(x-4)(6-x)=1-(-x^{2}+10x-24)=x^{2}-10x+25.
Isso é outro quadrado perfeito:
x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}.
Portanto, para x\in[2,4],
\sqrt{\,1-(x-4)\sqrt{1+(x-5)(x-7)}\,}=\sqrt{(x-5)^{2}}=|x-5|.
E como x\in[2,4] implica x-5\le -1, temos |x-5|=5-x.

Passo 5

Agora calculamos o conteúdo da raiz externa para x\in[2,4]:
16-(x+3)\sqrt{\,1-(x-4)\sqrt{1+(x-5)(x-7)}\,}=16-(x+3)|x-5|.
Como vimos |x-5|=5-x neste intervalo, então
16-(x+3)(5-x).
Faço a multiplicação:
(x+3)(5-x)=5x+15-x^{2}-3x=-x^{2}+2x+15.
Assim
16-(-x^{2}+2x+15)=x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
Portanto, para x\in[2,4],
\sqrt{16-(x+3)\sqrt{\,1-(x-4)\sqrt{1+(x-5)(x-7)}\,}}=\sqrt{(x-1)^{2}}=|x-1|.
E como x\in[2,4] implica x-1\ge1, temos |x-1|=x-1.

Passo 6

Com todas as simplificações válidas para x\in[2,4], a equação original reduz-se, nesse intervalo, a
x-1=12x-2x^{2}-16.
Vou reescrever o lado direito de maneira factorizada que já tínhamos:
12x-2x^{2}-16=-2(x-2)(x-4).
Logo a equação é
x-1=-2(x-2)(x-4).
Passo agora a resolver essa equação algébrica.

Passo 7

Resolvo a equação encontrada. Primeiro trago tudo para um lado:
-2(x-2)(x-4)-(x-1)=0.
Expando (x-2)(x-4)=x^{2}-6x+8 e multiplico por -2:
-2x^{2}+12x-16-(x-1)=0.
Agrupando termos:
-2x^{2}+11x-15=0.
Multiplicando por -1 para facilitar:
2x^{2}-11x+15=0.
Agora uso a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = (-11)^{2}-4\cdot 2\cdot 15=121-120=1.
Portanto as raízes são
x=\frac{11\pm\sqrt{1}}{2\cdot 2}=\frac{11\pm1}{4}.
Isso dá
x=\frac{12}{4}=3 \qquad\text{e}\qquad x=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}.

Passo 8

Verificação final das soluções quanto às hipóteses usadas:
  • Ambas as raízes x=3 e x=\tfrac{5}{2} pertencem ao intervalo [2,4], que foi a restrição que garantiamos ao exigir o lado direito não negativo.
  • Já mostramos algebraicamente que, para x\in[2,4], todas as expressões internas reduzem a quadrados perfeitos, então as radicais estão bem definidas e as escolhas de sinal foram consistentes ( |x-6|=6-x, |x-5|=5-x, |x-1|=x-1).
  • Para total segurança, uma verificação numérica rápida:
    • x=3: lado esquerdo vira \sqrt{(3-1)^{2}}=2 e lado direito 12\cdot3-2\cdot3^{2}-16=2. OK.
    • x=\tfrac{5}{2}: lado esquerdo vira \sqrt{(5/2-1)^{2}}=\tfrac{3}{2} e lado direito 12\cdot\frac{5}{2}-2\cdot\frac{25}{4}-16=\tfrac{3}{2}. OK.
Portanto ambas são soluções válidas da equação original.

Resposta

x=3
x=\dfrac{5}{2}

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