Determine todos os números reais que satisfazem cada uma das seguintes equações.
Lembre-se que
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede: determinar todos os números reais
que satisfazem essa igualdade.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A expressão do lado esquerdo é uma raiz quadrada principal, logo seu valor é sempre não negativo:
. - Foi lembrado que
. - Para que a equação faça sentido:
- o conteúdo da raiz mais interna
deve ser ; - o conteúdo da raiz intermediária
deve ser ; - o conteúdo da raiz externa
deve ser .
- o conteúdo da raiz mais interna
- Além disso, como o lado esquerdo é não negativo, o lado direito também deve ser
. Ou seja:
Passo 2
Vou simplificar as expressões internas procurando padrões algébricos. Primeiro observe a raiz mais interna:
Desenvolvendo:
Esse trinômio é um quadrado perfeito:
Portanto
Aqui é importante lembrar:
, e o sinal de
depende do valor de
.
Passo 3
Usando o resultado anterior, a expressão da raiz intermediária é
Agora observe que o domínio da equação exigirá que isso seja
, mas antes de impôr domínio vamos continuar a simplificação explorando os intervalos de
que tornam
simples.
Como o lado direito da equação deve ser não negativo, vamos já usar essa observação para restringir
. O lado direito é
Exigindo
e dividindo por
(mudando o sinal da desigualdade) obtemos
ou seja
Portanto quaisquer soluções candidatas precisam estar em
. Isso facilita os valores absolutos: para
temos
, logo
. Também
e
, informações úteis adiante.
Passo 4
Agora, para
substituímos
na raiz intermediária:
Faço a conta passo a passo:
Então
Isso é outro quadrado perfeito:
Portanto, para
,
E como
implica
, temos
.
Passo 5
Agora calculamos o conteúdo da raiz externa para
:
Como vimos
neste intervalo, então
Faço a multiplicação:
Assim
Portanto, para
,
E como
implica
, temos
.
Passo 6
Com todas as simplificações válidas para
, a equação original reduz-se, nesse intervalo, a
Vou reescrever o lado direito de maneira factorizada que já tínhamos:
Logo a equação é
Passo agora a resolver essa equação algébrica.
Passo 7
Resolvo a equação encontrada. Primeiro trago tudo para um lado:
Expando
e multiplico por
:
Agrupando termos:
Multiplicando por
para facilitar:
Agora uso a fórmula quadrática. O discriminante é
Portanto as raízes são
Isso dá
Passo 8
Verificação final das soluções quanto às hipóteses usadas:
- Ambas as raízes
e pertencem ao intervalo , que foi a restrição que garantiamos ao exigir o lado direito não negativo. - Já mostramos algebraicamente que, para
, todas as expressões internas reduzem a quadrados perfeitos, então as radicais estão bem definidas e as escolhas de sinal foram consistentes ( , , ). - Para total segurança, uma verificação numérica rápida:
-
: lado esquerdo vira e lado direito . OK. -
: lado esquerdo vira e lado direito . OK.
-
Portanto ambas são soluções válidas da equação original.