Os babilônicos talvez tenham usado a fórmula abaixo para obter aproximações interessantes de raízes quadradas de números não quadrados perfeitos.
\sqrt{a^{2}+b} \approx a+\frac{b}{2 a}
Atribuindo a=\frac{4}{3} e b=\frac{2}{9} nessa fórmula, é correto afirmar que obtemos a aproximação:
(a) \sqrt{2} \approx \frac{17}{12}
(b) \sqrt{2} \approx \frac{15}{12}
(c) \sqrt{\frac{15}{12}} \approx 2
(d) \sqrt{2} \approx 1,426 \ldots

Passo 1

O enunciado apresenta a fórmula aproximada usada pelos babilônios:
\sqrt{a^{2}+b}\approx a+\frac{b}{2a}
e pede que, ao atribuir a=\tfrac{4}{3} e b=\tfrac{2}{9}, identifiquemos qual aproximação obtemos.

Passo 2

Primeiro, observamos que o termo dentro da raiz com esses valores é
a^{2}+b=\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)^{2} + \tfrac{2}{9} = \tfrac{16}{9} + \tfrac{2}{9} = \tfrac{18}{9} = 2,
logo de fato a fórmula se destina a aproximar \sqrt{2}.

Passo 3

Aplicando a parte de correção da fórmula, calculamos
\frac{b}{2a} = \frac{\tfrac{2}{9}}{2\cdot \tfrac{4}{3}} = \frac{\tfrac{2}{9}}{\tfrac{8}{3}} = \tfrac{2}{9}\times \tfrac{3}{8} = \tfrac{6}{72} = \tfrac{1}{12}.

Passo 4

Somando a a essa correção:
a + \frac{b}{2a} = \frac{4}{3} + \frac{1}{12} = \frac{16}{12} + \frac{1}{12} = \frac{17}{12}.

Resposta

(a) \sqrt{2}\approx \tfrac{17}{12}

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