Sobre o resultado da expressão a seguir, podemos afirmar que:
\frac{2-3^{3}}{\sqrt{3}+1}
(a) O resultado é um número natural.
(b) O resultado é um número inteiro não natural.
(c) O resultado é um número racional não inteiro.
(d) O resultado é um número real não racional.

Passo 1

O enunciado pede para classificar o valor da expressão
\frac{2-3^{3}}{\sqrt{3}+1}
dentro dos conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais). Para isso, vamos simplificar a expressão e ver se ela é racional ou não.

Passo 2

Calculamos primeiro o numerador:
2 - 3^{3} = 2 - 27 = -25.
A expressão fica
\frac{-25}{\sqrt{3} + 1}.

Passo 3

Para eliminar a raiz do denominador, racionalizamos multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}-1:
\frac{-25}{\sqrt{3}+1}\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} =\frac{-25\bigl(\sqrt{3}-1\bigr)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} =\frac{-25(\sqrt{3}-1)}{3-1} =\frac{-25(\sqrt{3}-1)}{2}.
Desenvolvendo,
\frac{-25\sqrt{3}+25}{2} =\frac{25}{2}-\frac{25}{2}\sqrt{3}.

Passo 4

Sabemos que \sqrt{3} é um número irracional. Multiplicar um irracional por um racional não nulo continua irracional, e somar esse resultado a um racional dá um número irracional. Logo
\frac{25}{2}-\frac{25}{2}\sqrt{3}
é irracional.

Resposta

(d) O resultado é um número real não racional.

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