Em uma bacia hidrográfica com área de 10 km 2 , foi registrada uma chuva de 48 mm em 24 horas. A chuva ocorreu uniformemente distribuída neste intervalo de tempo. No exutório da bacia o canal do rio possui capacidade para escoar uma vazão de 6 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{s} sem transbordar. Supondo que que a bacia é altamente impermeabilizada por urbanização (infiltração desprezível), e o volume de chuva sairá da bacia no mesmo intervalo de tempo de sua ocorrência, e de forma uniforme, responda:
a) Haverá transbordamento na saída da bacia?
b) E se o mesmo volume de chuva cair em apenas 1hora?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • área da bacia: 10\\ \mathrm{km}^2
    • altura (precipitação): 48\\ \mathrm{mm} ocorridos uniformemente
    • duração do evento (caso a): 24\\ \mathrm{h} (a chuva ocorreu uniformemente nesse intervalo)
    • capacidade do canal no exutório: 6\\ \mathrm{m^3/s}
    • hipótese: bacia praticamente impermeável (infiltração desprezível) e todo o volume de chuva sai da bacia no mesmo intervalo de ocorrência, de forma uniforme.
  • O que o enunciado pede:
    a) Determinar se haverá transbordamento no exutório quando o volume de chuva sair uniformemente em 24\\ \mathrm{h}.
    b) Determinar se haverá transbordamento se o mesmo volume sair em 1\\ \mathrm{h}.

Passo 2

Vamos calcular o volume total de chuva que caiu na bacia. Fórmula básica:
V = A \times h,
onde V é o volume (em \mathrm{m^3}), A é a área (em \mathrm{m^2}) e h é a altura da chuva (em \mathrm{m}).
Primeiro convertemos unidades:
10\\ \mathrm{km}^2 = 10\times(1000\\ \mathrm{m})^2 = 10\times10^6\\ \mathrm{m}^2 = 10{,}000{,}000\\ \mathrm{m}^2,
48\\ \mathrm{mm} = 0{,}048\\ \mathrm{m}.
Agora aplicamos a fórmula:
V = 10{,}000{,}000\\ \mathrm{m^2}\times 0{,}048\\ \mathrm{m} = 480{,}000\\ \mathrm{m^3}.
Interpretação intuitiva: essa é a quantidade total de água que precisa sair da bacia.

Passo 3

Para saber se o canal transborda precisamos comparar a vazão média que sai da bacia com a capacidade do canal. A vazão média Q é
Q=\frac{V}{t},
onde t é o tempo (em segundos) no qual o volume V é evacuado.
No caso (a) a chuva sai uniformemente em 24\\ \mathrm{h}. Convertemos tempo:
24\\ \mathrm{h}=24\times3600\\ \mathrm{s}=86{,}400\\ \mathrm{s}.
Logo a vazão média durante as 24\\ \mathrm{h} é
Q_{24}=\frac{480{,}000\\ \mathrm{m^3}}{86{,}400\\ \mathrm{s}} \approx 5{,}5555\ldots\\ \mathrm{m^3/s}\approx 5{,}56\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 4

Comparação com a capacidade do canal:
Q_{24}\approx 5{,}56\\ \mathrm{m^3/s}\quad\text{versus}\quad Q_{\text{cap}}=6\\ \mathrm{m^3/s}.
Como 5{,}56<6, a vazão média é menor que a capacidade do canal — portanto, não haverá transbordamento se o volume sair uniformemente em 24\\ \mathrm{h}.
Comentário útil: sobra uma folga de capacidade
6-5{,}555\ldots \approx 0{,}4444\\ \mathrm{m^3/s},
que em 24\\ \mathrm{h} corresponde a um volume extra de
0{,}4444\\ \mathrm{m^3/s}\times86{,}400\\ \mathrm{s} \approx 38{,}400\\ \mathrm{m^3}
que o canal ainda poderia escoar além desse evento (isso só para dar uma ideia da margem).

Passo 5

Agora o caso (b): o mesmo volume V=480{,}000\\ \mathrm{m^3} sai em 1\\ \mathrm{h}.
Convertemos tempo:
1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}.
A vazão média será
Q_{1}=\frac{480{,}000\\ \mathrm{m^3}}{3600\\ \mathrm{s}}=133{,}333\ldots\\ \mathrm{m^3/s}\approx133{,}33\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 6

Comparação com a capacidade do canal no caso (b):
Q_{1}\approx133{,}33\\ \mathrm{m^3/s}\quad\text{versus}\quad Q_{\text{cap}}=6\\ \mathrm{m^3/s}.
Aqui 133{,}33\gg 6, ou seja, a vazão média que tenta passar é muito maior que a capacidade do canal — portanto haverá transbordamento.
Se for interessante quantificar o volume que o canal consegue escoar em 1\\ \mathrm{h}:
V_{\text{escoado}}=Q_{\text{cap}}\times t = 6\\ \mathrm{m^3/s}\times3600\\ \mathrm{s}=21{,}600\\ \mathrm{m^3}.
Logo o volume que não será escoado (provável transbordamento/retido) é
V_{\text{transbordo}}=480{,}000-21{,}600=458{,}400\\ \mathrm{m^3}.
Também vale dizer que na situação (b) a chuva exigiria uma vazão \approx22{,}2 vezes maior que a capacidade do canal ( 133{,}33/6\approx22{,}22).

Resposta

a) Não — não haverá transbordamento quando o volume sair uniformemente em 24\\ \mathrm{h}. Vazão média Q\approx5{,}56\\ \mathrm{m^3/s}<6\\ \mathrm{m^3/s}.
b) Sim — haverá transbordamento se o mesmo volume cair e sair em 1\\ \mathrm{h}. Vazão média Q\approx133{,}33\\ \mathrm{m^3/s}\gg6\\ \mathrm{m^3/s} (volume não escoado \approx458{,}400\\ \mathrm{m^3}).

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