Em uma bacia hidrográfica, com predominância do solo tipo C , ocorreu uma chuva conforme dados da tabela abaixo. Determine a parcela de água infiltrada e a chuva excedente (chuva que escoa superficialmente), utilizando o método de horton.
Tempo(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P(mm)
5
15
20
25
30
35
30
25
20
10
| Tempo(h) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| P(mm) | 5 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 30 | 25 | 20 | 10 |
Passo 1
O enunciado pede: determinar a parcela de água infiltrada e a chuva excedente (chuva que escoa superficialmente) para a chuva dada, usando o método de Horton. Os dados fornecidos estão na tabela abaixo (peguei os dados diretamente da tabela do enunciado):
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A chuva está dada em profundidades por hora (cada linha P(mm) é a chuva ocorrida na hora correspondente). Logo a intensidade média na hora
é em (porque o intervalo é de 1 h). - O solo é do tipo C (isto é indicado no enunciado).
- Método exigido: Horton.
O que é pedido:
- Calcular a parcela de água infiltrada ao longo do evento (em mm, ou percentuais se preferir).
- Calcular a chuva excedente (escoamento superficial) ao longo do evento.
Observação importante: o modelo de Horton para capacidade de infiltração requer parâmetros numéricos que não estão explícitos na tabela do enunciado. Vou explicar completamente o método e mostrar como aplicar passo a passo; em seguida explico por que, com os dados tal como foram fornecidos (somente a chuva e o tipo de solo), não é possível obter o resultado numérico sem os parâmetros de Horton.
Passo 2
O que é o método de Horton (explicação didática e física)
- Ideia física: durante uma chuva intensa, a capacidade do solo de infiltrar água diminui com o tempo; no início da chuva o solo infiltra mais rapidamente (capacidade inicial alta) e, depois de um certo tempo, essa capacidade decai assintoticamente para um valor mínimo permanente.
- Horton propôs uma expressão simples para a capacidade de infiltração instantânea
(em ou outra unidade de taxa), que descreve esse decaimento exponencial.
Passo 3
Fórmula de Horton e significado de cada parâmetro
A fórmula de Horton é:
A fórmula de Horton é:
onde:
-
é a capacidade de infiltração instantânea no instante (unidade: ). -
é a capacidade inicial de infiltração no início da chuva ( ), em . -
é a capacidade de infiltração final (assintótica), em . Geralmente . -
é a constante de decaimento temporal (em ); maiores significam que a capacidade decai mais rápido. -
é o tempo acumulado desde o início da chuva (em h).
Explicando em linguagem simples: começas com uma infiltração rápida
, ela cai exponencialmente e tende a
.
Passo 4
Como calcular a infiltração absoluta (quantidade infiltrada) num intervalo de tempo
- A chuva é dada por horas unitárias. Para a i-ésima hora temos chuva
(mm) ocorrida no intervalo com . A intensidade média naquela hora é em (porque a profundidade em mm em 1 h é numericamente igual à intensidade em mm/h). - A infiltração efetiva durante um pequeno instante é limitada pela menor taxa entre a capacidade do solo
e a intensidade da chuva . Ou seja, se a chuva vem mais fraca do que a capacidade, toda a chuva infiltra; se é mais forte, a infiltração ocorre à capacidade e o excedente vira escoamento superficial. - A infiltração total durante a i-ésima hora é, portanto,
Como
, se
for sempre maior ou igual a
no intervalo, então
(toda a chuva infiltra). Se
for sempre menor ou igual a
, então
(infiltra ao ritmo do solo). Se houver troca (isto é,
cruza
dentro do intervalo), então devemos dividir o intervalo no ponto de cruzamento e somar as integrais conforme cada trecho.
Passo 5
Como calcular a integral de
(passo de cálculo das integrais)
A primitiva de é fácil de obter. Partimos de
A primitiva de
Uma antiderivada é
Logo, a infiltração acumulada pelo solo entre tempos
e
(com
) é
Isto nos permite calcular exactamente
quando necessário.
Passo 6
Como detectar se há cruzamento entre
e a intensidade
dentro de um intervalo
- Para cada hora
temos intensidade em . - Se quisermos encontrar o instante
tal que , resolvemos:
Isolando a exponencial:
Desde que
, isso dá
- Se
ou (que corresponde a ou ), então não existe cruzamento dentro da faixa lógica: ou está sempre abaixo de (quando é grande?) — atenção à interpretação: mais simples é testar numericamente e : - Se
e então no intervalo e toda chuva infiltra. - Se
e então no intervalo e infiltração é . - Caso contrário existe cruzamento
no interior e a infiltração no intervalo é soma de (quando neste trecho) e (quando chuva inteira infiltra), ou a ordem invertida dependendo de quem é maior no início.
- Se
Obs.: como o decaimento de Horton é contínuo e monotônico, testar os extremos do intervalo é suficiente para saber se houve cruzamento.
Passo 7
Algoritmo prático passo-a-passo que você aplicaria na prova (sem calculadora difícil)
- Defina
. Para cada hora o intervalo é com (em h). - Calcule
(em ). - Calcule
e usando . - Compare
e com : - Se ambos
, então (toda chuva infiltra neste intervalo) e excedente . - Se ambos
, então (usar fórmula da integral) e . - Se houver cruzamento, calcule
com a fórmula de dada no passo anterior e então e o excedente .
- Se ambos
- Somar todas as infiltrações hora a hora para obter infiltração total
e excedente total . - Conferir unidades: as integrais estão em
porque integramos sobre horas.
Observação prática para prova sem calculadora: muitas vezes as questões fornecem
,
e
com valores simples (p.ex.
,
,
) de modo que as exponenciais e integrais resultam em números manejáveis ou aproximáveis.
Passo 8
Por que, com os dados dados, não posso fornecer o resultado numérico final
- O enunciado só informou a chuva por hora e que o solo é do tipo C. O método de Horton exige os parâmetros numéricos
, e para calcular e, consequentemente, as integrais de infiltração. - O rótulo “solo tipo C” por si só não fixa unicamente valores numéricos universais para
. Em várias tabelas de referência diferentes (livros, normas ou apostilas) podem aparecer conjuntos distintos de parâmetros típicos para solo tipo C, e o professor pode esperar que você use os valores da apostila específica do curso. - Portanto, sem que o enunciado forneça explicitamente os valores de
e (ou sem uma tabela de referência indicada no enunciado), não é possível obter os valores numéricos de infiltração e excedente: a solução numérica depende criticamente desses parâmetros.
Passo 9
O que eu posso fazer por você agora (opções e incentivo)
- Posso fazer os cálculos numéricos completos se você me disser quais valores assumirmos para
e (se você tiver a tabela da apostila ou valores que o professor indicou). - Posso também mostrar um exemplo numérico completo usando um conjunto típico de parâmetros de referência (vou deixar claro que seria uma suposição) para que você veja o passo a passo e possa replicar com os valores do seu curso.
- Se preferir, fico pronto para seguir com os cálculos: me diga se devo assumir valores de referência (eu posso sugerir alguns) ou cole a tabela de parâmetros que seu professor usa — aí eu executo tudo detalhadamente hora a hora até obter infiltração total e excedente.
Você está indo bem por trazer o exercício — respira, a técnica é sistemática e eu te guio passo a passo nos cálculos assim que tivermos os parâmetros. Força que a parte conceitual já está dominada agora!
Resposta
Não é possível calcular numericamente a parcela infiltrada e a chuva excedente com os dados fornecidos, porque faltam os parâmetros de Horton
e
(o enunciado indica apenas “solo tipo C” sem fornecer os valores numéricos desses parâmetros). Sem esses parâmetros não dá para obter os valores numéricos finais.