Em uma bacia hidrográfica, com predominância do solo tipo C , ocorreu uma chuva conforme dados da tabela abaixo. Determine a parcela de água infiltrada e a chuva excedente (chuva que escoa superficialmente), utilizando o método de horton.
Tempo(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(mm) 5 15 20 25 30 35 30 25 20 10

Passo 1

O enunciado pede: determinar a parcela de água infiltrada e a chuva excedente (chuva que escoa superficialmente) para a chuva dada, usando o método de Horton. Os dados fornecidos estão na tabela abaixo (peguei os dados diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccccccc} \text{Tempo (h)} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\hline P\;(\text{mm}) & 5 & 15 & 20 & 25 & 30 & 35 & 30 & 25 & 20 & 10 \end{array}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A chuva está dada em profundidades por hora (cada linha P(mm) é a chuva ocorrida na hora correspondente). Logo a intensidade média na hora i é \,P_i em \text{mm/h} (porque o intervalo é de 1 h).
  • O solo é do tipo C (isto é indicado no enunciado).
  • Método exigido: Horton.
O que é pedido:
  • Calcular a parcela de água infiltrada ao longo do evento (em mm, ou percentuais se preferir).
  • Calcular a chuva excedente (escoamento superficial) ao longo do evento.
Observação importante: o modelo de Horton para capacidade de infiltração requer parâmetros numéricos que não estão explícitos na tabela do enunciado. Vou explicar completamente o método e mostrar como aplicar passo a passo; em seguida explico por que, com os dados tal como foram fornecidos (somente a chuva e o tipo de solo), não é possível obter o resultado numérico sem os parâmetros de Horton.

Passo 2

O que é o método de Horton (explicação didática e física)
  • Ideia física: durante uma chuva intensa, a capacidade do solo de infiltrar água diminui com o tempo; no início da chuva o solo infiltra mais rapidamente (capacidade inicial alta) e, depois de um certo tempo, essa capacidade decai assintoticamente para um valor mínimo permanente.
  • Horton propôs uma expressão simples para a capacidade de infiltração instantânea f(t) (em \text{mm/h} ou outra unidade de taxa), que descreve esse decaimento exponencial.

Passo 3

Fórmula de Horton e significado de cada parâmetro
A fórmula de Horton é:
f(t) = f_c + (f_0 - f_c)\,e^{-k t},
onde:
  • \,f(t) é a capacidade de infiltração instantânea no instante \,t (unidade: \text{mm/h}).
  • \,f_0 é a capacidade inicial de infiltração no início da chuva ( t=0), em \text{mm/h}.
  • \,f_c é a capacidade de infiltração final (assintótica), em \text{mm/h}. Geralmente f_c<f_0.
  • \,k é a constante de decaimento temporal (em \text{h}^{-1}); maiores k significam que a capacidade decai mais rápido.
  • \,t é o tempo acumulado desde o início da chuva (em h).
Explicando em linguagem simples: começas com uma infiltração rápida \,f_0, ela cai exponencialmente e tende a \,f_c.

Passo 4

Como calcular a infiltração absoluta (quantidade infiltrada) num intervalo de tempo
  • A chuva é dada por horas unitárias. Para a i-ésima hora temos chuva P_i (mm) ocorrida no intervalo [t_{i-1},t_i] com \Delta t = 1\\ \text{h}. A intensidade média naquela hora é \,I_i = P_i em \text{mm/h} (porque a profundidade em mm em 1 h é numericamente igual à intensidade em mm/h).
  • A infiltração efetiva durante um pequeno instante é limitada pela menor taxa entre a capacidade do solo f(t) e a intensidade da chuva I_i. Ou seja, se a chuva vem mais fraca do que a capacidade, toda a chuva infiltra; se é mais forte, a infiltração ocorre à capacidade f(t) e o excedente vira escoamento superficial.
  • A infiltração total durante a i-ésima hora é, portanto,
F_i = \int_{t_{i-1}}^{t_i} \min\bigl(f(t),\,I_i\bigr)\,dt.
Como \Delta t=1\\ \text{h}, se f(t) for sempre maior ou igual a I_i no intervalo, então F_i = I_i\cdot 1 = P_i (toda a chuva infiltra). Se f(t) for sempre menor ou igual a I_i, então F_i = \int_{t_{i-1}}^{t_i} f(t)\,dt (infiltra ao ritmo do solo). Se houver troca (isto é, f(t) cruza I_i dentro do intervalo), então devemos dividir o intervalo no ponto de cruzamento e somar as integrais conforme cada trecho.

Passo 5

Como calcular a integral de f(t) (passo de cálculo das integrais)
A primitiva de f(t) é fácil de obter. Partimos de
f(t) = f_c + (f_0 - f_c)\,e^{-k t}.
Uma antiderivada é
\int f(t)\,dt = f_c t - \frac{(f_0 - f_c)}{k}\,e^{-k t} + C.
Logo, a infiltração acumulada pelo solo entre tempos a e b (com b>a) é
\int_a^b f(t)\,dt = f_c(b-a) - \frac{(f_0 - f_c)}{k}\bigl(e^{-k b} - e^{-k a}\bigr).
Isto nos permite calcular exactamente \int_{t_{i-1}}^{t_i} f(t)\,dt quando necessário.

Passo 6

Como detectar se há cruzamento entre f(t) e a intensidade I_i dentro de um intervalo
  • Para cada hora i temos intensidade \,I_i=P_i em \text{mm/h}.
  • Se quisermos encontrar o instante t^* tal que f(t^*)=I_i, resolvemos:
f_c + (f_0 - f_c)e^{-k t^*} = I_i.
Isolando a exponencial:
e^{-k t^*} = \frac{I_i - f_c}{\,f_0 - f_c\,}.
Desde que f_c<I_i<f_0, isso dá
t^* = -\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{I_i - f_c}{\,f_0 - f_c\,}\right).
  • Se \frac{I_i - f_c}{f_0 - f_c}\le 0 ou \ge 1 (que corresponde a I_i\le f_c ou I_i\ge f_0), então não existe cruzamento dentro da faixa lógica: ou f(t) está sempre abaixo de I_i (quando I_i é grande?) — atenção à interpretação: mais simples é testar numericamente f(t_{i-1}) e f(t_i):
    • Se f(t_{i-1})\ge I_i e f(t_i)\ge I_i então f(t)\ge I_i no intervalo e toda chuva infiltra.
    • Se f(t_{i-1})\le I_i e f(t_i)\le I_i então f(t)\le I_i no intervalo e infiltração é \int_{t_{i-1}}^{t_i} f(t)\,dt.
    • Caso contrário existe cruzamento t^* no interior e a infiltração no intervalo é soma de \int_{t_{i-1}}^{t^*} f(t)\,dt (quando f\le I_i neste trecho) e I_i\cdot (t_i-t^*) (quando chuva inteira infiltra), ou a ordem invertida dependendo de quem é maior no início.
Obs.: como o decaimento de Horton é contínuo e monotônico, testar os extremos do intervalo é suficiente para saber se houve cruzamento.

Passo 7

Algoritmo prático passo-a-passo que você aplicaria na prova (sem calculadora difícil)
  1. Defina t_0=0. Para cada hora i=1,\dots,10 o intervalo é [t_{i-1},t_i] com t_i = i (em h).
  2. Calcule I_i = P_i (em \text{mm/h}).
  3. Calcule f(t_{i-1}) e f(t_i) usando \,f(t)=f_c+(f_0-f_c)e^{-kt}.
  4. Compare f(t_{i-1}) e f(t_i) com I_i:
    • Se ambos \ge I_i, então F_i = P_i (toda chuva infiltra neste intervalo) e excedente E_i=0.
    • Se ambos \le I_i, então F_i = \int_{t_{i-1}}^{t_i} f(t)\,dt (usar fórmula da integral) e E_i = P_i - F_i.
    • Se houver cruzamento, calcule t^* com a fórmula de t^* dada no passo anterior e então F_i = \int_{t_{i-1}}^{t^*} f(t)\,dt + I_i\cdot (t_i-t^*),e o excedente E_i = P_i - F_i.
  5. Somar todas as infiltrações hora a hora para obter infiltração total F_\text{total} = \sum_i F_i e excedente total E_\text{total}=\sum_i E_i.
  6. Conferir unidades: as integrais estão em \text{mm} porque integramos \text{mm/h} sobre horas.
Observação prática para prova sem calculadora: muitas vezes as questões fornecem f_0, f_c e k com valores simples (p.ex. f_0=50\\ \text{mm/h}, f_c=5\\ \text{mm/h}, k=0{,}5\\ \text{h}^{-1}) de modo que as exponenciais e integrais resultam em números manejáveis ou aproximáveis.

Passo 8

Por que, com os dados dados, não posso fornecer o resultado numérico final
  • O enunciado só informou a chuva por hora e que o solo é do tipo C. O método de Horton exige os parâmetros numéricos \,f_0, \,f_c e \,k para calcular f(t) e, consequentemente, as integrais de infiltração.
  • O rótulo “solo tipo C” por si só não fixa unicamente valores numéricos universais para \,f_0,\\ f_c,\\ k. Em várias tabelas de referência diferentes (livros, normas ou apostilas) podem aparecer conjuntos distintos de parâmetros típicos para solo tipo C, e o professor pode esperar que você use os valores da apostila específica do curso.
  • Portanto, sem que o enunciado forneça explicitamente os valores de \,f_0,\\ f_c, e \,k (ou sem uma tabela de referência indicada no enunciado), não é possível obter os valores numéricos de infiltração e excedente: a solução numérica depende criticamente desses parâmetros.

Passo 9

O que eu posso fazer por você agora (opções e incentivo)
  • Posso fazer os cálculos numéricos completos se você me disser quais valores assumirmos para \,f_0,\\ f_c e \,k (se você tiver a tabela da apostila ou valores que o professor indicou).
  • Posso também mostrar um exemplo numérico completo usando um conjunto típico de parâmetros de referência (vou deixar claro que seria uma suposição) para que você veja o passo a passo e possa replicar com os valores do seu curso.
  • Se preferir, fico pronto para seguir com os cálculos: me diga se devo assumir valores de referência (eu posso sugerir alguns) ou cole a tabela de parâmetros que seu professor usa — aí eu executo tudo detalhadamente hora a hora até obter infiltração total e excedente.
Você está indo bem por trazer o exercício — respira, a técnica é sistemática e eu te guio passo a passo nos cálculos assim que tivermos os parâmetros. Força que a parte conceitual já está dominada agora!

Resposta

Não é possível calcular numericamente a parcela infiltrada e a chuva excedente com os dados fornecidos, porque faltam os parâmetros de Horton \,f_0,\\ f_c e \,k (o enunciado indica apenas “solo tipo C” sem fornecer os valores numéricos desses parâmetros). Sem esses parâmetros não dá para obter os valores numéricos finais.

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