Bactérias crescem em uma solução nutritiva a uma taxa proporcional à quantidade inicial. Inicialmente, existem 250 fileiras de bactérias na solução, as quais aumentam para 800 fileiras após sete horas. Determine:
(A) Uma expressão para o número aproximado de fileiras de bactérias na cultura em um instante de tempo t.
(B) O tempo necessário para que o número de bactérias atinja 1600 fileiras.

Passo 1

O enunciado fala de crescimento bacteriano proporcional à quantidade atual, ou seja, vale a equação diferencial dNdt=kN. Inicialmente temos N(0)=250 fileiras e, após 7 horas, N(7)=800.

Passo 2

Da solução geral N(t)=N0e^kt, substituímos N(7)=800 e N0=250:
800=250e^7k
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e^7k=800250=3.2
e
k=ln(3.2)7.

Passo 3

Substituindo em N(t)=250e^kt, obtemos a expressão:
N(t)=250e^ln(3.2)7t.

Passo 4

Para achar o tempo em que N(t)=1600, fazemos
1600=250e^kt
e^kt=1600250=6.4
t=ln(6.4)k=ln(6.4)ln(3.2)/7=7ln(6.4)ln(3.2)approx11.17 horas.

Resposta

(A) N(t)=250e^ln(3.2)7t
(B) tapprox11.17 h

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