Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
integral0^1 integral0^x x sen(y) d y d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral iterada integral0^1integral0^x x,sin(y),dy,dx. O assunto principal é integração dupla e, na prática, vamos usar Fubini para reorganizar a ordem (se for útil) e depois integração por partes para tratar de xcos(x).

Passo 2

Primeiro, vale desenhar a região de integração:
A condição 0<= y<= x<=1 define um triângulo no plano (x,y), abaixo da reta y=x entre x=0 e x=1. Em caso de inverter a ordem, ficaria 0<= y<=1 e, para cada y, y<= x<=1.

Passo 3

Com a ordem original, calculamos a integral interna primeiro. Para x fixo:
integral0^x x,sin(y),dy = xintegral0^x sin(y),dy = xl[-cos(y)r]0^x = xl(1-cos(x)r)

Passo 4

Agora a integral externa fica
integral0^1 xl(1-cos(x)r),dx = integral0^1 x,dx - integral0^1 xcos(x),dx
O primeiro termo é direto: integral0^1 x,dx=tfrac12
Para integral0^1 xcos(x),dx, aplicamos partes com u=x, dv=cos(x),dx:
integral xcos(x),dx = xsin(x)-integral sin(x),dx = xsin(x)+cos(x)+C
Avaliando de 0 a 1:
integral0^1 xcos(x),dx = l[xsin(x)+cos(x)r]0^1 = l(1cdotsin(1)+cos(1)r)- (0+1) = sin(1)+cos(1)-1

Passo 5

Juntando tudo:
integral0^1 xl(1-cos(x)r),dx = tfrac12 - l(sin(1)+cos(1)-1r) = tfrac32 - sin(1) - cos(1)

Resposta

tfrac32 - sin(1) - cos(1)

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