Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral iterada
. O assunto principal é integração dupla e, na prática, vamos usar Fubini para reorganizar a ordem (se for útil) e depois integração por partes para tratar de
.
Passo 2
Primeiro, vale desenhar a região de integração:
A condição define um triângulo no plano
, abaixo da reta
entre
e
. Em caso de inverter a ordem, ficaria
e, para cada
,
.
A condição
Passo 3
Com a ordem original, calculamos a integral interna primeiro. Para
fixo:
Passo 4
Agora a integral externa fica
O primeiro termo é direto:
Para , aplicamos partes com
,
:
Para
Avaliando de 0 a 1:
Passo 5
Juntando tudo: