Calcule a integral iterada.
integral0^1 integralx^-2^x x y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral iterada, que é basicamente resolver duas integrais uma dentro da outra. A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e como determinar corretamente os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integral dada:
integral0^1 integralx^-2^x x y^2 , dy , dx
Aqui, a integração interna é em relação a $ y $ e a externa em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é:
integralx^-2^x x y^2 , dy
Como $ x $ é tratado como uma constante em relação a $ y $, podemos tirar $ x $ para fora da integral:
x

Passo 4

Agora, vamos integrar $ y^{2} $ em relação a $ y $. A integral de $ y^{2} $ é:
y^2
Então, aplicando os limites de $ x^{-2} $ a $ x $:
y

Passo 5

Vamos calcular isso substituindo os limites:
x ( x^33 - (x^-2)^33 )
Simplificando $ (x{-2}){3} = x^{-6} $:
(x^-2)^3 = x^-6

Passo 6

Multiplicando $ x $ pela expressão dentro:
x
Então, a integral interna resultou em:
x cdot x^3 - x cdot x^-63 = x^4 - x^-53

Passo 7

Agora, vamos substituir isso na integral externa:
integral0^1 x^4 - x^-53 , dx
Podemos tirar o $ \frac{1}{3} $ para fora da integral:
13

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
integral x^4 , dx = x^55 + C
integral x^-5 , dx = x^-4-4 + C = -14 x^-4 + C
Então, a integral fica:
13 [ x^55 + 14 x^-4 ] gr|0^1

Passo 9

Agora, vamos avaliar nos limites de 0 a 1. Primeiro em $ x = 1 $:
x = 1
Agora, em $ x = 0 $:
Aqui, temos $ x^{-4} $ que tende ao infinito quando $ x $ se aproxima de 0, mas multiplicado por $ \frac{1}{4} $ ainda é infinito. No entanto, como estamos subtraindo, isso significa que a integral diverge.

Resposta

A integral não converge; o resultado é infinito.

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