Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral iterada, que é basicamente resolver duas integrais uma dentro da outra. A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e como determinar corretamente os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a integral dada:
Aqui, a integração interna é em relação a $ y $ e a externa em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a integral interna, que é:
Como $ x $ é tratado como uma constante em relação a $ y $, podemos tirar $ x $ para fora da integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar $ y^{2} $ em relação a $ y $. A integral de $ y^{2} $ é:
Então, aplicando os limites de $ x^{-2} $ a $ x $:
Passo 5
Vamos calcular isso substituindo os limites:
Simplificando $ (x{-2}){3} = x^{-6} $:
Passo 6
Multiplicando $ x $ pela expressão dentro:
Então, a integral interna resultou em:
Passo 7
Agora, vamos substituir isso na integral externa:
Podemos tirar o $ \frac{1}{3} $ para fora da integral:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, vamos avaliar nos limites de 0 a 1. Primeiro em $ x = 1 $:
Agora, em $ x = 0 $:
Aqui, temos $ x^{-4} $ que tende ao infinito quando $ x $ se aproxima de 0, mas multiplicado por $ \frac{1}{4} $ ainda é infinito. No entanto, como estamos subtraindo, isso significa que a integral diverge.
Resposta
A integral não converge; o resultado é infinito.