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Usando todos ou alguns números dos dígitos 2, 3, 4, e 5, Edward escreve números maiores que 500 sem repetir os digítos (por exemplo: “543”).
Quantos números Edward escreve?
Quantos números Edward escreve?
Passo 1
O enunciado dá os dígitos
. Edward forma números usando “todos ou alguns” desses dígitos, sem repetir dígitos, e escreve apenas números maiores que
.
Precisamos contar quantos números distintos ele pode escrever. Informações relevantes extraídas do enunciado:
Precisamos contar quantos números distintos ele pode escrever. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Só são permitidos dígitos de
. - Não é permitida repetição de dígitos.
- Pode-se usar de
até dígitos (porque há 4 dígitos disponíveis). - Deve-se contar apenas os números cuja quantidade de dígitos é
ou e cujo valor final é maior que .
Passo 2
Primeiro, eliminar comprimentos de número que não podem produzir valores maiores que
.
- Números de
dígito: são . Nenhum é . Logo, contribuem com números. - Números de
dígitos: o maior que se pode formar com esses dígitos é , que é . Logo, contribuem com números.
Até agora soma parcial:
.
Passo 3
Agora, números de
dígitos (formados por três dígitos distintos escolhidos de
).
Para um número de dígitos ser
, o algarismo das centenas precisa ser
(porque centenas
,
ou
dão números
). Portanto o formato deve ser
com
e
distintos e pertencentes a
.
Para um número de
Contagem: escolher
e
sem repetir entre os
dígitos disponíveis para dezenas e unidades. A contagem de arranjos (permutação de
posições entre
elementos) é
Posso também enumerar para ficar claro:
. Portanto há
números de
dígitos válidos.
Passo 4
Agora, números de
dígitos: aqui usa-se todos os
dígitos sem repetição (porque não há mais dígitos disponíveis). Qualquer número de
dígitos formado com esses dígitos é no mínimo
, portanto automaticamente
. Então precisamos contar todas as permutações dos
dígitos.
Contagem de permutações de
elementos é
(fatorial de
), ou seja
Passo 5
Somando todas as quantidades válidas por número de dígitos:
-
dígito: -
dígitos: -
dígitos: -
dígitos:
Total final: