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Usando todos ou alguns números dos dígitos 2, 3, 4, e 5, Edward escreve números maiores que 500 sem repetir os digítos (por exemplo: “543”).
Quantos números Edward escreve?

Passo 1

O enunciado dá os dígitos \{2,3,4,5\}. Edward forma números usando “todos ou alguns” desses dígitos, sem repetir dígitos, e escreve apenas números maiores que 500.
Precisamos contar quantos números distintos ele pode escrever. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Só são permitidos dígitos de \{2,3,4,5\}.
  • Não é permitida repetição de dígitos.
  • Pode-se usar de 1 até 4 dígitos (porque há 4 dígitos disponíveis).
  • Deve-se contar apenas os números cuja quantidade de dígitos é 1,2,3 ou 4 e cujo valor final é maior que 500.

Passo 2

Primeiro, eliminar comprimentos de número que não podem produzir valores maiores que 500.
  • Números de 1 dígito: são \,2,3,4,5. Nenhum é >500. Logo, contribuem com 0 números.
  • Números de 2 dígitos: o maior que se pode formar com esses dígitos é 54, que é <500. Logo, contribuem com 0 números.
Até agora soma parcial: 0.

Passo 3

Agora, números de 3 dígitos (formados por três dígitos distintos escolhidos de \{2,3,4,5\}).
Para um número de 3 dígitos ser >500, o algarismo das centenas precisa ser 5 (porque centenas 2, 3 ou 4 dão números <500). Portanto o formato deve ser 5ab com a e b distintos e pertencentes a \{2,3,4\}.
Contagem: escolher a e b sem repetir entre os 3 dígitos disponíveis para dezenas e unidades. A contagem de arranjos (permutação de 2 posições entre 3 elementos) é
3\times 2 = 6.
Posso também enumerar para ficar claro: 523, 524, 532, 534, 542, 543. Portanto há 6 números de 3 dígitos válidos.

Passo 4

Agora, números de 4 dígitos: aqui usa-se todos os 4 dígitos sem repetição (porque não há mais dígitos disponíveis). Qualquer número de 4 dígitos formado com esses dígitos é no mínimo 2000, portanto automaticamente >500. Então precisamos contar todas as permutações dos 4 dígitos.
Contagem de permutações de 4 elementos é 4! (fatorial de 4), ou seja
4! = 4\times 3\times 2\times 1 = 24.

Passo 5

Somando todas as quantidades válidas por número de dígitos:
  • 1 dígito: 0
  • 2 dígitos: 0
  • 3 dígitos: 6
  • 4 dígitos: 24
Total final:
0+0+6+24=30.

Resposta

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