Calcule a integral da função \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=-x-4 y+4 sobre a região delimitada pelo eixo y, pela curva y=x e pela reta y=2
Escolha uma opção:
◯ a. -2
◯ b. -4
◯ c. -3
◯ d. -6
◯ e. -5

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral da função f(x,y)=-x-4y+4 sobre a região limitada pelo eixo y, pela curva y=x e pela reta y=2.
Informações dadas:
  • A função a integrar é f(x,y)=-x-4y+4.
  • As curvas que limitam a região são: o eixo y (que é a reta x=0), a reta y=x e a reta horizontal y=2.
  • A tarefa é calcular a integral dupla da função sobre essa região.

Passo 2

Descrever a região e escolher limites de integração.
  • Interseções das fronteiras (obtidas a partir das equações dadas):
    • x=0 com y=x dá o ponto (0,0).
    • x=0 com y=2 dá o ponto (0,2).
    • y=x com y=2 dá o ponto (2,2).
  • Geometricamente a região R é o triângulo com vértices (0,0), (0,2) e (2,2). Para cada y fixo entre 0 e 2, x varia do eixo y (ou seja x=0) até a reta x=y. Logo uma descrição em coordenadas é
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le 2,\;0\le x\le y\}.
  • Escolha da ordem de integração: é natural integrar primeiro em x (pois os limites em x dependem de y de forma simples) e depois em y. Explicação rápida do significado: a integral dupla
\iint_{R} f(x,y)\,dA
representa a soma (com sinal) de f sobre a área R; ao integrar primeiro em x fixamos um valor de y e somamos em x, reduzindo para uma integral unidimensional em y.

Passo 3

Montar a integral dupla com os limites identificados:
\iint_{R} (-x-4y+4)\,dA \;=\; \int_{y=0}^{2}\!\left(\int_{x=0}^{y} (-x-4y+4)\,dx\right) dy.

Passo 4

Calcular a integral interna em x.
  • Integramos termo a termo em x:
\int_{x=0}^{y} (-x-4y+4)\,dx = \left[-\frac{x^{2}}{2}-4yx+4x\right]_{x=0}^{x=y}.
  • Avaliando em x=y e em x=0 (lembrando que todo número isolado deve estar em TeX):
\left(-\frac{y^{2}}{2}-4y\cdot y+4y\right)-\left(0\right) = -\frac{y^{2}}{2}-4y^{2}+4y.
  • Combinar os termos quadráticos:
-\frac{y^{2}}{2}-4y^{2} = -\frac{1}{2}y^{2}-\frac{8}{2}y^{2} = -\frac{9}{2}y^{2}.
Portanto o resultado da integral interna é
-\frac{9}{2}y^{2}+4y.

Passo 5

Calcular a integral externa em y.
  • Agora integramos de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\left(-\frac{9}{2}y^{2}+4y\right)dy = -\frac{9}{2}\int_{0}^{2} y^{2}dy + 4\int_{0}^{2} y\,dy.
  • Calcular as primitivas e avaliar:
\int_{0}^{2} y^{2}dy = \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{8}{3}, \qquad \int_{0}^{2} y\,dy = \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{4}{2}=2.
  • Substituindo:
-\frac{9}{2}\cdot\frac{8}{3} + 4\cdot 2 = -\frac{9\cdot 8}{2\cdot 3} + 8 = -\frac{72}{6} + 8 = -12 + 8 = -4.

Passo 6

Interpretação final e conferência com as opções: o valor da integral dupla é -4, que corresponde à alternativa b.

Resposta

b. -4

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