Calcule a integral da função
sobre a região delimitada pelo eixo y, pela curva
e pela reta
Escolha uma opção:
◯ a. -2
◯ b. -4
◯ c. -3
◯ d. -6
◯ e. -5
Escolha uma opção:
◯ a. -2
◯ b. -4
◯ c. -3
◯ d. -6
◯ e. -5
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral da função
sobre a região limitada pelo eixo
, pela curva
e pela reta
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - As curvas que limitam a região são: o eixo
(que é a reta ), a reta e a reta horizontal . - A tarefa é calcular a integral dupla da função sobre essa região.
Passo 2
Descrever a região e escolher limites de integração.
-
Interseções das fronteiras (obtidas a partir das equações dadas):
-
com dá o ponto . -
com dá o ponto . -
com dá o ponto .
-
-
Geometricamente a região
é o triângulo com vértices , e . Para cada fixo entre e , varia do eixo (ou seja ) até a reta . Logo uma descrição em coordenadas é
- Escolha da ordem de integração: é natural integrar primeiro em
(pois os limites em dependem de de forma simples) e depois em . Explicação rápida do significado: a integral dupla
representa a soma (com sinal) de
sobre a área
; ao integrar primeiro em
fixamos um valor de
e somamos em
, reduzindo para uma integral unidimensional em
.
Passo 3
Montar a integral dupla com os limites identificados:
Passo 4
Calcular a integral interna em
.
- Integramos termo a termo em
:
- Avaliando em
e em (lembrando que todo número isolado deve estar em TeX):
- Combinar os termos quadráticos:
Portanto o resultado da integral interna é
Passo 5
Calcular a integral externa em
.
- Agora integramos de
a :
- Calcular as primitivas e avaliar:
- Substituindo:
Passo 6
Interpretação final e conferência com as opções: o valor da integral dupla é
, que corresponde à alternativa b.
Resposta
b.