Calcule a integral dupla de
definida na região R determinada por
e
.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de
na região
determinada por
e
. Ou seja, calcular
A região
é o retângulo
. As opções dadas são:
Passo 2
Como
é um retângulo, pode-se usar a integral iterada (teorema de Fubini): integrar primeiro em
e depois em
, ou vice-versa — o resultado será o mesmo. Além disso, a operação de integração é linear, então
Vou calcular cada uma separadamente. Observação rápida sobre notação:
indica o elemento de área; ao usar integral iterada aqui vou escrever
e integrar
de
a
e depois
de
a
.
Passo 3
Escrevendo a integral iterada:
Pela linearidade, separamos:
Passo 4
Calcular a primeira integral. Aqui
é tratado como constante ao integrar em
.
Agora integrar em
:
Usando a regra do poder (
para
), obtemos
Explicação sucinta do que foi usado: ao integrar
em
aumenta-se o expoente em 1 e divide-se por esse novo expoente.
Passo 5
Calcular a segunda integral. Primeiro a integral interna em
, com
constante:
Aqui usei que
. Agora integramos em
:
Aplicando a regra do poder para
:
Observação didática: o fator
saiu da integral em
porque é uma constante em relação a
.
Passo 6
Somando as duas parcelas obtidas:
Comparando com as opções fornecidas, isto corresponde à opção (d).
Resposta
d.