Calcule a integral dupla de \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=4 x^{2}+4 x e^{y} definida na região R determinada por 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq 5.
Escolha uma opção:
◯ a. 10+2\left(\frac{1}{e^{5}}-1\right)
◯ b. \frac{20}{3}+2\left(\frac{1}{e^{5}}-1\right)
◯ c. 10+\frac{4}{3}\left(e^{5}-1\right)
◯ d. \frac{20}{3}+2\left(e^{5}-1\right)
◯ e. 10+2\left(e^{5}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=4x^{2}+4x e^{y} na região R determinada por 0\le x\le1 e 0\le y\le5. Ou seja, calcular
\iint_{R}\bigl(4x^{2}+4x e^{y}\bigr)\,dA.
A região R é o retângulo [0,1]\times[0,5]. As opções dadas são:
\text{(a) }10+2\left(\frac{1}{e^{5}}-1\right) \qquad \text{(b) }\frac{20}{3}+2\left(\frac{1}{e^{5}}-1\right)
\text{\text{(c)} }10+\frac{4}{3}\left(e^{5}-1\right) \qquad \text{(d) }\frac{20}{3}+2\left(e^{5}-1\right) \qquad \text{(e) }10+2\left(e^{5}-1\right)

Passo 2

Como R é um retângulo, pode-se usar a integral iterada (teorema de Fubini): integrar primeiro em y e depois em x, ou vice-versa — o resultado será o mesmo. Além disso, a operação de integração é linear, então
\iint_{R}\bigl(4x^{2}+4x e^{y}\bigr)\,dA = \iint_{R}4x^{2}\,dA + \iint_{R}4x e^{y}\,dA.
Vou calcular cada uma separadamente. Observação rápida sobre notação: dA indica o elemento de área; ao usar integral iterada aqui vou escrever dA=dy\,dx e integrar y de 0 a 5 e depois x de 0 a 1.

Passo 3

Escrevendo a integral iterada:
\iint_{R}\bigl(4x^{2}+4x e^{y}\bigr)\,dA = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{5}\bigl(4x^{2}+4x e^{y}\bigr)\,dy\,dx.
Pela linearidade, separamos:
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{5}4x^{2}\,dy\,dx \quad\text{e}\quad \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{5}4x e^{y}\,dy\,dx.

Passo 4

Calcular a primeira integral. Aqui x é tratado como constante ao integrar em y.
\int_{y=0}^{5}4x^{2}\,dy = 4x^{2}\bigl[y\bigr]_{0}^{5} = 4x^{2}\cdot5 = 20x^{2}.
Agora integrar em x:
\int_{x=0}^{1}20x^{2}\,dx = 20\int_{0}^{1}x^{2}\,dx.
Usando a regra do poder ( \int x^{n}\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq-1), obtemos
20\cdot\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 20\cdot\frac{1}{3} = \frac{20}{3}.
Explicação sucinta do que foi usado: ao integrar x^{2} em x aumenta-se o expoente em 1 e divide-se por esse novo expoente.

Passo 5

Calcular a segunda integral. Primeiro a integral interna em y, com x constante:
\int_{y=0}^{5}4x e^{y}\,dy = 4x\int_{0}^{5}e^{y}\,dy = 4x\bigl[e^{y}\bigr]_{0}^{5} = 4x\bigl(e^{5}-1\bigr).
Aqui usei que \int e^{y}\,dy = e^{y}. Agora integramos em x:
\int_{x=0}^{1}4x\bigl(e^{5}-1\bigr)\,dx = \bigl(e^{5}-1\bigr)\cdot 4\int_{0}^{1}x\,dx.
Aplicando a regra do poder para \int x\,dx:
4\bigl(e^{5}-1\bigr)\cdot\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 4\bigl(e^{5}-1\bigr)\cdot\frac{1}{2} = 2\bigl(e^{5}-1\bigr).
Observação didática: o fator \bigl(e^{5}-1\bigr) saiu da integral em x porque é uma constante em relação a x.

Passo 6

Somando as duas parcelas obtidas:
\frac{20}{3} + 2\bigl(e^{5}-1\bigr).
Comparando com as opções fornecidas, isto corresponde à opção (d).

Resposta

d. \frac{20}{3}+2\left(e^{5}-1\right)

Exercícios relacionados