Lista de exercícios II (Unidade II): Trabalho e energia cinética
Prof: João Carlos Rocha de Araújo
Exercícios dos livros: Young e Freedman 14a ed. Cap. 6, Halliday 9a ed. Cap. 7 e Tipler 6a ed cap 7
Trabalho e Energia cinética.
Mostre que o trabalho da força elástica é dado por
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Prof: João Carlos Rocha de Araújo
Exercícios dos livros: Young e Freedman 14a ed. Cap. 6, Halliday 9a ed. Cap. 7 e Tipler 6a ed cap 7
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o tema Trabalho e Energia Cinética, e precisamos mostrar que o trabalho realizado pela força elástica é dado por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho realizado por uma força que varia com a posição, especificamente a força elástica de uma mola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que trabalho é uma medida de energia transferida por uma força que age sobre um objeto enquanto esse objeto se move. Quando a força varia com a posição, calculamos o trabalho usando uma integral.
A fórmula geral para o trabalho $ W $ realizado por uma força $ F(x) $ que varia com a posição $ x $ é:
Aqui, $ x_i $ é a posição inicial e $ x_f $ é a posição final.
Passo 3
No caso de uma mola, a força elástica é descrita pela Lei de Hooke, que diz que a força exercida por uma mola é proporcional ao seu deslocamento em relação à posição de equilíbrio:
Onde:
- $ k $ é a constante elástica da mola.
- $ x $ é o deslocamento da mola.
- O sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao deslocamento.
Passo 4
Como o trabalho é uma quantidade escalar, podemos ignorar o sinal da força para o cálculo do módulo do trabalho. Assim, substituímos $ F(x) $ na integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de $ k x $ em relação a $ x $ é:
Isso significa:
Passo 6
Simplificando a expressão, obtemos:
Mas geralmente, como $ x_i $ é a posição inicial e $ x_f $ a final, é mais comum escrever a diferença ao contrário para refletir a energia armazenada ou liberada:
Resposta
O trabalho realizado pela força elástica é dado por: