Lista de exercícios II (Unidade II): Trabalho e energia cinética
Prof: João Carlos Rocha de Araújo
Exercícios dos livros: Young e Freedman 14a ed. Cap. 6, Halliday 9a ed. Cap. 7 e Tipler 6a ed cap 7

Trabalho e Energia cinética.

Mostre que o trabalho da força elástica é dado por W=1 / 2 k(xi^2-xf^2).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o tema Trabalho e Energia Cinética, e precisamos mostrar que o trabalho realizado pela força elástica é dado por:
W = 12 k ( xi^2 - xf^2 )
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho realizado por uma força que varia com a posição, especificamente a força elástica de uma mola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que trabalho é uma medida de energia transferida por uma força que age sobre um objeto enquanto esse objeto se move. Quando a força varia com a posição, calculamos o trabalho usando uma integral.
A fórmula geral para o trabalho $ W $ realizado por uma força $ F(x) $ que varia com a posição $ x $ é:
W
Aqui, $ x_i $ é a posição inicial e $ x_f $ é a posição final.

Passo 3

No caso de uma mola, a força elástica é descrita pela Lei de Hooke, que diz que a força exercida por uma mola é proporcional ao seu deslocamento em relação à posição de equilíbrio:
F(x) = -k x
Onde:
  • $ k $ é a constante elástica da mola.
  • $ x $ é o deslocamento da mola.
  • O sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao deslocamento.

Passo 4

Como o trabalho é uma quantidade escalar, podemos ignorar o sinal da força para o cálculo do módulo do trabalho. Assim, substituímos $ F(x) $ na integral:
F(x)

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de $ k x $ em relação a $ x $ é:
k x
Isso significa:
x

Passo 6

Simplificando a expressão, obtemos:
W = 12 k ( xf^2 - xi^2 )
Mas geralmente, como $ x_i $ é a posição inicial e $ x_f $ a final, é mais comum escrever a diferença ao contrário para refletir a energia armazenada ou liberada:
xi

Resposta

O trabalho realizado pela força elástica é dado por:
W = 12 k ( xi^2 - xf^2 )

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