Uma bala de
é disparada com velocidade de
sobre um pêndulo balístico com massa igual a
, suspenso por uma corda de
de comprimento. Calcule (i) a altura vertical alcançada pelo pêndulo; (ii) a energia cinética inicial da bala; (iii) a energia cinética da bala e do pêndulo imediatamente depois de a bala ficar retida na madeira do pêndulo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma bala de massa 25,0 g (gramas) que é disparada com uma velocidade de 400 m/s contra um pêndulo balístico que pesa 7,00 kg (quilogramas) e está pendurado por uma corda de 80,0 cm de comprimento. Precisamos calcular três coisas:
- A altura vertical que o pêndulo alcança depois que a bala fica presa nele.
- A energia cinética inicial da bala.
- A energia cinética combinada da bala e do pêndulo imediatamente após a bala se prender no pêndulo.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática, energia cinética e conservação de momento. Vamos por partes!
Passo 2
Conversão de Unidades
Primeiro, vamos padronizar as unidades para facilitar os cálculos. É importante que todas as massas estejam em quilogramas (kg) e as distâncias em metros (m).
- Massa da bala: 25,0 g = 0,025 kg
- Massa do pêndulo: 7,00 kg (já está em kg)
- Comprimento da corda: 80,0 cm = 0,80 m
Passo 3
Energia Cinética Inicial da Bala
A energia cinética ($ E_k $) de um objeto em movimento é dada pela fórmula:
onde:
- $ m $ é a massa do objeto
- $ v $ é a velocidade
Vamos calcular a energia cinética inicial da bala.
Passo 4
Conservação do Momento Linear no Impacto
Quando a bala atinge o pêndulo e fica presa, o sistema bala-pêndulo vai se mover junto. Podemos usar a conservação do momento linear para encontrar a velocidade imediatamente após o impacto.
A conservação do momento linear diz que o momento antes do impacto é igual ao momento depois do impacto:
Onde $ v’ $ é a velocidade comum após o impacto.
Vamos substituir os valores:
Passo 5
Energia Cinética Após o Impacto
Agora, vamos calcular a energia cinética do sistema bala-pêndulo imediatamente após o impacto, usando a velocidade $ v’ $ que encontramos.
$$
E_{kapós} = 3,5125 \times 2,028, J \approx 7,13, J
$$
E_{kapós} = 3,5125 \times 2,028, J \approx 7,13, J
$$
Passo 6
Altura Vertical Alcançada pelo Pêndulo
Após o impacto, o sistema bala-pêndulo sobe até parar momentaneamente no ponto mais alto. Nesse ponto, toda a energia cinética se transforma em energia potencial gravitacional ($ E_p $):
Onde:
- $ m_{total} = m_{bala} + m_{pêndulo} = 7,025, kg $
- $ g = 9,81, m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
- $ h $ é a altura que queremos encontrar
Como $ E_{kapós} = E_p $:
Ou seja, a altura é aproximadamente 10,35 cm.
Resposta
(i) A altura vertical alcançada pelo pêndulo é de aproximadamente 10,35 cm;
(ii) A energia cinética inicial da bala é de 2000 J (Joules);
(iii) A energia cinética da bala e do pêndulo imediatamente após a bala ficar retida é de aproximadamente 7,13 J.