Uma bala de 25,0 g é disparada com velocidade de 400 m / s sobre um pêndulo balístico com massa igual a 7,00 kg, suspenso por uma corda de 80,0 cm de comprimento. Calcule (i) a altura vertical alcançada pelo pêndulo; (ii) a energia cinética inicial da bala; (iii) a energia cinética da bala e do pêndulo imediatamente depois de a bala ficar retida na madeira do pêndulo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma bala de massa 25,0 g (gramas) que é disparada com uma velocidade de 400 m/s contra um pêndulo balístico que pesa 7,00 kg (quilogramas) e está pendurado por uma corda de 80,0 cm de comprimento. Precisamos calcular três coisas:
  1. A altura vertical que o pêndulo alcança depois que a bala fica presa nele.
  2. A energia cinética inicial da bala.
  3. A energia cinética combinada da bala e do pêndulo imediatamente após a bala se prender no pêndulo.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática, energia cinética e conservação de momento. Vamos por partes!

Passo 2

Conversão de Unidades
Primeiro, vamos padronizar as unidades para facilitar os cálculos. É importante que todas as massas estejam em quilogramas (kg) e as distâncias em metros (m).
  • Massa da bala: 25,0 g = 0,025 kg
  • Massa do pêndulo: 7,00 kg (já está em kg)
  • Comprimento da corda: 80,0 cm = 0,80 m

Passo 3

Energia Cinética Inicial da Bala
A energia cinética ($ E_k $) de um objeto em movimento é dada pela fórmula:
Ek
onde:
  • $ m $ é a massa do objeto
  • $ v $ é a velocidade
Vamos calcular a energia cinética inicial da bala.
Ek = 12 m v^2
m
v

Passo 4

Conservação do Momento Linear no Impacto
Quando a bala atinge o pêndulo e fica presa, o sistema bala-pêndulo vai se mover junto. Podemos usar a conservação do momento linear para encontrar a velocidade imediatamente após o impacto.
A conservação do momento linear diz que o momento antes do impacto é igual ao momento depois do impacto:
mbala vbala = (mbala + mpêndulo) v' ê
Onde $ v’ $ é a velocidade comum após o impacto.
Vamos substituir os valores:
v'
0,025, kg times 400, m/s = (0,025, kg + 7,00, kg) v'
10, kg·m/s = 7,025, kg times v'

Passo 5

Energia Cinética Após o Impacto
Agora, vamos calcular a energia cinética do sistema bala-pêndulo imediatamente após o impacto, usando a velocidade $ v’ $ que encontramos.
v' óê
Ek após = 12 (mbala + mpêndulo) v'^2 ó
$$
E_{kapós} = 3,5125 \times 2,028, J \approx 7,13, J
$$

Passo 6

Altura Vertical Alcançada pelo Pêndulo
Após o impacto, o sistema bala-pêndulo sobe até parar momentaneamente no ponto mais alto. Nesse ponto, toda a energia cinética se transforma em energia potencial gravitacional ($ E_p $):
Ep
Onde:
  • $ m_{total} = m_{bala} + m_{pêndulo} = 7,025, kg $
  • $ g = 9,81, m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
  • $ h $ é a altura que queremos encontrar
Como $ E_{kapós} = E_p $:
Ep = mtotal g h
mtotal = mbala + mpêndulo = 7,025, kg
Ou seja, a altura é aproximadamente 10,35 cm.

Resposta

(i) A altura vertical alcançada pelo pêndulo é de aproximadamente 10,35 cm;
(ii) A energia cinética inicial da bala é de 2000 J (Joules);
(iii) A energia cinética da bala e do pêndulo imediatamente após a bala ficar retida é de aproximadamente 7,13 J.

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