Uma esfera de chumbo de 20,00 kg está presa a um gancho suspenso por um fio fino com 2,80 m de comprimento e está livre para oscilar formando um círculo completo. De súbito, a esfera de chumbo é atingida horizontalmente por um dardo de aço de 5,00 kg que a penetra. Qual deve ser a velocidade inicial mínima do dardo para que o conjunto dê uma volta completa após a colisão?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Temos uma esfera de chumbo de 20,00 kg presa a um fio de 2,80 m que pode oscilar em um círculo completo. Um dardo de aço de 5,00 kg bate nessa esfera e fica preso a ela. Queremos descobrir qual a velocidade mínima que o dardo precisa ter para que, após se prender à esfera, o conjunto (esfera + dardo) consiga dar uma volta completa.
Para resolver isso, vamos precisar usar:
  • Conservação do momento linear: Para relacionar a velocidade inicial do dardo com a velocidade do sistema após a colisão.
  • Condições para movimento circular completo: Para determinar a velocidade mínima que o sistema precisa ter para completar uma volta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do sistema (esfera + dardo) imediatamente após a colisão usando a conservação do momento linear. A ideia aqui é que, antes da colisão, apenas o dardo está em movimento, e após a colisão, eles se movem juntos.
A fórmula da conservação do momento linear é:
mdardo cdot vdardo = (mesfera + mdardo) cdot v'
Onde:
  • $ m_{dardo} = 5,00 , kg $
  • $ m_{esfera} = 20,00 , kg $
  • $ v_{dardo} $ é a velocidade inicial do dardo que queremos encontrar.
  • $ v’ $ é a velocidade do sistema após a colisão.
Rearranjando para encontrar $ v’ $:
mdardo = 5,00 , kg

Passo 3

Agora, vamos determinar a velocidade mínima que o sistema precisa ter para completar uma volta completa. Para isso, usamos a condição de que, no ponto mais alto da trajetória do círculo, a força centrípeta deve ser igual ou maior que a força da gravidade.
A condição para movimento circular completo é:
vmín = raizg cdot r í
Onde:
  • $ g = 9,81 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
  • $ r = 2,80 , m $ (raio do círculo, que é o comprimento do fio)
Calculando:
g = 9,81 , m/s^2 í
Isso significa que o sistema precisa ter pelo menos 5,24 m/s no ponto mais baixo para completar a volta.

Passo 4

Sabemos que a velocidade do sistema após a colisão $ v’ $ deve ser igual ou maior que $ v_{mín} $. Então, igualamos as duas expressões:
v'
Isolando $ v_{dardo} $:
vmín
Substituindo os valores:
mdardo cdot vdardomesfera + mdardo >= raizg cdot r

Resposta

A velocidade inicial mínima do dardo precisa ser aproximadamente 26,20 m/s para que o conjunto esfera + dardo dê uma volta completa após a colisão.

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